Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

108 CHAPTER 6. PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOno es libre de contexto. Sin embargo, si se escoge Z = b j c k d l y se escribe Z = uvwxy, es siempre posibleescoger u, v, w, x e y, tales que uv M wx M y ∈ L 3 , ∀M. Por ejemplo, se escoge vwx de manera que sólo tengab’s. Si se escoge Z = a i b j c j d j , entonces v y x podrían tener sólo a’s, en cuyo caso uv M wx M y ∈ L 3 , ∀M.Se requiere una versión más poderosa del lema de bombeo que permita enfocar un número de posicionesen el string y luego bombearlas. Una extensión similar es simple para lenguajes regulares ya que en cualquiersecuencia de N + 1 estados en un AFD de N estados, debe contener alguno dos veces; y el substring en elmedio puede ser bombeado. El resultado para lenguajes libres de contexto es más difícil de obtener pero sepuede mostrar. Se establece y prueba una versión simple de lo que se conoce como el lema de Ogden.Lema 10 (Lema de Ogden) Sea L un lenguaje libre de contexto. Entonces hay una contante N (que puedeser la misma que para el lema de bombeo), tal que si Z ∈ L y se marcan N o más posiciones (símbolos)cualesquiera de Z como “distinguidas”, entonces se puede escribir Z = uvwxy, tal que1. vx tiene al menos una posición distinguida2. vwx tiene a lo más N posiciones distinguidas3. ∀i ≥ 0; uv i wx i y ∈ LDemostración : Sea G una gramática en la forma normal de Chomsky que genera L − {ε}. Sean k lasvariables de G y sea N = 2 k+1 . Se debe construir un camino P en el árbol, similar al de la prueba dellema de bombeo. Sin embargo, ya que estamos interesados sólo en las posiciones distinguidas, no interesarántodos los vértices , peor sólo los “puntos de quiebre” (branch points), que son vértices en que ambos hijostienen descendientes distinguidos.P se construye como sigue. La raíz pertenece a P . Si r es el último vértice incluido en P , se sigue comose indica a continuación. Si r tiene un hijo con descendientes distinguidos, ese hijo se agrega a P . Si r esuna hoja, se termina el proceso. Si ambos hijos de r tienen descendientes distinguidos, r es un punto dequiebre y se agrega el hijo con el mayor número de descendientes distinguidos a P (en caso de empate, seescoge arbitrariamente).Por lo tanto, cada punto de quiebre en P tiene al menos la mitad de descendientes distinguidos que elpunto de quiebre anterior. Ya que hay al menos N posiciones distinguidas en Z, y todas son descendientesde la raíz, hay al menos k + 1 puntos de quiebre en P . Por lo tanto, entre los últimos k + 1 puntos de quiebredebe haber dos con igual etiqueta. Se escoge v 1 y v 2 como dichos puntos de quiebre y la demostracióncontinúa exactamente como en el lema de bombeo.Ejemplo 80 Sea L 4 = {a i b j c k /i ≠ j, j ≠ k, i ≠ k}. Asuma que L 4 es un lenguaje libre de contexto ysea N la constante del lema de Ogden y considere el string Z = a N b N+N! c N+2N! . Sean las posiciones delas a’s distinguidas y sea Z = uvwxy, satisfaciendo las condiciones del lema de Ogden. Si v o x contienensímbolos diferentes, entonces uv 2 wx 2 y ∉ L 4 ya que tendrá símbolos no en el orden correcto. Al menos unode v y x debe tener a’s, ya que sólo las a’s han sido distinguidas. Por lo tanto si x está en b ∗ o c ∗ , v debeestar en a + . Si x ∈ a + , entonces v ∈ a ∗ . Considere el caso en que x ∈ b ∗ , los demás son similares; entoncesv ∈ a + . Sea p = |v|. Entonces 1 ≤ p ≤ N y, por lo tanto, p divide N!, sea q tal que pq = n!. Entoncesz ′ = uv 2q+1 wx 2q+1 y debiera estar en L 4 . Pero v 2q+1 = a 2pq+p = a 2N!+p . Como uwy tiene exactamente(n − p) a’s, Z ′ tiene (2N! + N) a’s; sin embargo como v y x no tienen c’s, Z ′ también tiene (2N! + N) c’s y,por lo tanto, no está en L 4 . Una contradicción con el lema de Ogden. Una contradicción similar ocurre si xestá en a + o c ∗ . Por lo tanto L 4 no es un lenguaje libre de contexto.Debe notarse que el lema de bombeo es un caso especial del lema de Ogden en que todas las posicionesson distinguidas.✷✷