Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

140 PROPIEDADES DE L. ENUMERABLES RECURSIVAMENTE Y RECURSIVOSeste problema los símbolos son irrelevantes ya que el renombrar terminales no afecta la ambiguedad de unagramática.Un problema cuyo lenguaje es recursivo, se dice decidible, en otro caso el problema es no-decidible. Estoes, un problema es no-decidible si no hay un algoritmo que tome como input una instancia del problema ydetermine si la respuesta a esa instancia es SI o NO.Una consecuencia poco intuitiva de la definición de no-decidible es que problemas con sólo una instanciason trivialmente decidibles. Considérese el siguiente problema basado en la conjetura de Fermat. ¿Haysolución entre los enteros positivos a la ecuación x i + y i = z i , si i ≥ 3 ? Nótese que x, y, z e i no sonparámetros, sino que variables internas del problema. Hay una MT que acepta todo input y otra que losrechaza todos. Una de ellas responde correctamente a la conjetura de Fermat, aún cuando no se sabe cuál.De hecho, puede ni siquiera haber una resolución de la conjetura usando los axiomas de la aritmética. Estoes, la conjetura puede ser cierta y aún así puede que no haya una demostración aritmética de ella. Laposibilidad de esto, aunque no en certeza, sigue del teorema de Incompletitud de Gödel, que establece quecualquier sistema formal consistente y sufucientemente poderoso para describir teoría de números, debe tenersentencias verdaderas pero no demostrables dentro del sistema.No debiera molestar que un problema como la conjetura de Fermat sea decidible. La teoría de nodecidibilidadconcierne a la existencia o no existencia de algoritmos para resolver problemas con una infinidadde instancias.9.2 Otros Problemas No DecidiblesSe tiene ahora un ejemplo de un lenguaje enumerable recursivamente que no es recursivo. El problemaasociado a ese lenguaje, ¿Acepta M a w?, es no decidible y se puede usar para mostrar que otros problemasson no decidibles.Ejemplo 90 Considérese el problema: ¿Es L(M) ≠ φ ? Sea < M > una codificación para M. Se defineL NV = {< M > /L(M) ≠ φ}L V = {< M > /L(M) = φ}Nótese que L V y L NV son uno el complemento del otro, ya que cada string binario representa algunaMT; aquellos mal formados, denotan una MT sin movidas. Todos estos strings están en L V . Se mostraráque L NV es enumerable recursivamente, pero no recursivo y que L V no es enumerable recursivamente.Se muestra que L NV es enumerable recursivamente, construyendo una MT, M, que reconoce códigos deMT’s que aceptan conjuntos no vacíos. Dado un input < M i >, M en forma no determinística adivina unstring X aceptado por M i y verifica que M i lo acepte, simulando M i en input X. Este paso también puedeser ejecutado en forma determinística, usando el generador de pares. Para el par (j, k), se simula M i en elj-ésimo string durante k pasos. Si M i acepta, M acepta < M i >.Ahora se debe mostrar que L V no es recursivo. Supóngase que sí lo fuera, entonces se podría construir unalgoritmo para L u . Sea A un algoritmo hipotético que acepta L V . Hay un algoritmo B que, dado < M, w >,construye una MT M ′ que acepta φ si M no acepta w y que acepta {0, 1} ∗ si M acepta w. La idea semuestra en la Figura 9.1. M ′ ignora su entrada X y simula M en entrada w, aceptando si M acepta.Note que M ′ no es B. Más bien, B es como un compilador que toma < M, w > como programa fuentey produce M ′ como programa objeto. Se ha descrito qué hace B, pero no cómo lo hace. La construcciónes simple, toma < M, w > y separa w. Sea w = a 1 a 2 . . . a N . B crea N + 3 estados q 1 , q 2 , . . . , q N+3 , conmovidasδ(q1 , X) = (q 2 , $, D) para todo X (marca)δ(q i , X) = (q i+1 , a i−1 , D) para todo X y (escribe w)2 ≤ i ≤ N + 1δ(q N+2 , X) = (q N+2 , B, D) para X ≠ B (borra cinta)δ(q N+2 , B) = (q N+3 , B, I)δ(q N+3 , X) = (q N+3 , X, I) para X ≠ $ (busca marca)