Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

1.4. RELACIONES BINARIAS 21Ejemplo 17 La relación “ancestro de”, sobre el conjunto de personas, y de acuerdo a lo que intuitivamentese entiende por este concepto, es irrefleja, ya que nadie es ancestro de sí mismo; asimétrica —y tambiénantisimétrica—, ya que si una persona es ancestro de otra, esta última no puede ser ancestro de la primera.Y, finalmente, es una relación transitiva, pues si una persona es ancestro de otra y ésta, a su vez, es ancestrode una tercera persona, la primera es un ancestro de esta última.Nótese, sin embargo, que la relación “ancestro de”, sobre el conjunto de los nodos de un árbol, de acuerdoa las definiciones dadas en la sección anterior, es una relación refleja, antisimétrica y transitiva, lo que enrealidad difiere del concepto intuitivo.Las relaciones simétricas pueden representarse simplemente, empleando grafos. Es sabido que en estoscasos, si (a, b) está en la relación, también lo estará el par (b, a) y, por lo tanto, no es necesario retener lainformación sobre el orden de los pares. Cualquier grafo G = (V, R) puede entenderse como la representaciónde una relación simétrica, R, en el conjunto de vértices V . A su vez, cualquier relación simétrica R en unconjunto finito S, puede representarse por el grafo G = (S, R). Sin embargo, esta forma de representaciónno será utilizada en estos apuntes.✷1.4.2 Relaciones de EquivalenciaUna relación binaria que es refleja, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. El nombrese debe a que dos objetos relacionados por una relación de equivalencia son esencialmente equivalentes—cumplen el mismo papel— en cuanto al propósito de la relación.Una propiedad muy importante de una relación de equivalencia R en un conjunto S, es que divide a esteúltimo en varios subconjuntos no vacíos y disjuntos entre sí, llamados clases de equivalencia. La unión detodas estas clases, cuyo número puede ser infinito, forma el conjunto S. Cada elemento de cualquiera deestas clases, está en la relación R con todos los otros miembros de ese conjunto; sin embargo, miembros declases diferentes no están nunca en relación. Es decir, una relación de equivalencia R en un conjunto S,define subconjuntos no vacíos S 1 , S 2 , . . . que cumplen las siguientes propiedades:• S = S 1 ∪ S 2 ∪ . . .• Si i ≠ j, S i ∩ S j = ∅• Para todo a y b ∈ S i : aRb• Si i ≠ j, para todo a ∈ S i y b ∈ S j : a ̸RbEjemplo 18 Un ejemplo de relación de equivalencia es congruencia módulo un entero k y se escribei ≡ j mod k, si y sólo si i − j es divisible por k. Es simple demostrar que esta relación en los númerosenteros es una relación de equivalencia, es decir, que es refleja, simétrica y transitiva. Las clases de equivalenciaque define son los siguientes k conjuntos, cada uno de ellos es un conjunto infinito contable:{. . . , −2k, −k, 0, k, 2k, . . .}{. . . , −2(k − 1), −(k − 1), 1, k + 1, 2k + 1, . . .}. . . . . . . . . . . .{. . . , −(k + 1), −1, k − 1, 2k − 1, 3k − 1, . . .}✷