Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

6.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 1096.2 Propiedades de ClausuraEn esta sección se consideran algunas operaciones que preservan los lenguajes libres de contexto. Lasoperaciones son útiles no sólo para construir o probar que ciertos lenguajes son libres de contexto, sino quepara probar que algunos no lo son. Un lenguaje L puede probarse no libre de contexto construyendo, apartir de L, un lenguaje no libre de contexto, usando sólo operaciones que preserven los lenguajes libres decontexto.Teorema 28 Los lenguajes libres de contexto son cerrados bajo unión, concatenación y clausura de Kleene.Demostración :Sean L 1 y L 2 lenguajes libres de contexto generados por las gramáticasG 1 = (V 1 , T 1 , P 1 , S 1 )yG 2 = (V 2 , T 2 , P 2 , S 2 )respectivamente. Se asume que V 1 y V 2 son disjuntos y que S 3 , S 4 y S 5 no están en V 1 ∪ V 2 .Para L 1 ∪ L 2 se construye la gramática G 3 = (V 1 ∪ V 2 ∪ {S 3 }, T 1 ∪ T 2 , P 3 , S 3 ) en que P 3 es P 1 ∪ P 2 más⇒ ⇒ ∗las producciones S 3G3 S 1G1 w es también posible en G3 ya que P 1 ⊆ P 3 . En forma similar, todo string enL 2 tiene una derivación en G 3 que comienza con S 3 ⇒ S 2 . Por lo tanto, L 1 ∪ L 2 ⊆ L(G 3 ). Ahora, sea⇒ ⇒ ∗ ⇒ ⇒ ∗w ∈ L(G 3 ). Entonces la derivación S 3G3 S 1G3 w o con S3G3 S 2G3 w. En el primer caso, como V1 y V 2 son⇒ ∗disjuntos, sólo símbolos de G 1 aparecen en S 1G3 w. Como las únicas producciones de P3 que usan sólo⇒ ∗símbolos de G 1 son las de P 1 , se concluye que sólo producciones de P 1 son usadas en la derivación S 1G3 w.⇒ ∗ ⇒Por lo tanto, S 1G1 w y, luego, w ∈ L1 . Análogamente, si la derivación comienza S 3G3 S 2 , se concluye quew ∈ L 2 . De aquí, L 3 ⊆ L 1 ∪ L 2 . Por lo tanto, L ( G 3 ) = L 1 ∪ L 2 , como se deseaba.Para la concatenación, sea G 4 = (V 1 ∪ V 2 ∪ {S 4 }, T 1 ∪ T 2 , P 4 , S 4 ), en que P 4 es P 1 ∪ P 2 más la producciónS 4 → S 1 S 2 . La prueba de que L(G 4 ) = L 1 L 2 es similar a la anterior.Para la clausura de Kleene, sea G 4 = (V 1 ∪ {S 5 }, T 1 , P 5 , S 5 ), donde P 5 es P 1 más la producción S 5 →S 1 S 5 |ε. La prueba de que L(G 5 ) = L ∗ 1 es también similar a las anteriores.✷Teorema 29 Los lenguajes libres de contexto son cerrados bajo sustitución por lenguajes libres de contexto.Demostración : Sea L un lenguaje libre de contexto, L ⊆ Σ ∗ , y por cada a ∈ Σ sea L a = L(G a ). Asuma quelas variables de G y de G a son disjuntas. Construya una gramática G ′ de la siguiente forma. Las variablesde G ′ son las de G y de las G a ’s. El símbolo inicial de G ′ es el símbolo inicial de G. Las producciones de G ′son todas las producciones de las G a ’s junto a las producciones formadas tomando una producción A → αde G y sustituyendo S a , el símbolo inicial de G a , por cada aparición de todo a ∈ Σ en el lado derecho α.Ejemplo 81 Sea L el conjunto de palabras con igual número de a’s y b’s y sean L a = {0 N 1 N /N ≥ 1} yL b = {ww r /w ∈ (0 + 2) ∗ }.Para G se puede escogerPara G a se tomaS → aSbS|bSaS|εS a → 0S a 1|01✷