Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.6.SIMPLIFICACIÓN DE GRAMÁTICAS 89(1) OLDV := ∅;(2) NEWV := {A/A → w ∈ P con w ∈ T ∗ };(3) while OLDV ≠ NEWV do begin(4) OLDV := NEWV;(5) NEWV := OLDV ∪{A/A → w ∈ P con α ∈ (T ∪ OLDV ) ∗ }end(6) V-PRIMA := NEWVEl algoritmo anterior encuentra todas las variables A que pertenecen a V ′ . Si A es puesto en NEWVen línea (2) ó (5) es porque deriva un string de terminales. Para demostrar que NEWV tendrá todas esasvariables, se debe probar que si A deriva un string de terminales, w, entonces A será eventualmente puestoen NEWV. La prueba es por inducción en el largo de la derivación A ∗ ⇒w. Nótese que P ′ es el conjunto detodas las producciones cuyos símbolos están en V ′ ∪ T .Base: Si el largo de la derivación es 1, entonces A → w es una producción y A es puesto en NEWV en lalínea (2).∗Inducción: Sea A → X 1 X 2 . . . X n⇒w una derivación con k pasos. Entonces se puede escribir w =∗w 1 w 2 . . . w n , en que X i⇒wi , 1 ≤ i ≤ n, por una derivación de menos de k pasos. Por la hipótesisde inducción los X i que sean variables son eventualmente puestos en NEWV. La condición de la sentenciawhile en la línea (3), justo después que el último de los X i se agrega a NEWV es falsa, ya que eseX i no está en OLDV. Por lo tanto hay una iteración adicional (al menos), en la que A será agregadaa NEWV en la línea (5). Sea V ′ el conjunto calculado en línea (6) y sea P ′ el conjunto de todaslas producciones cuyos símbolos están en V ′ ∪ T . Con toda seguridad G ′ = (V ′ , T, P ′ , S) satisface lapropiedad de que si A ∈ V ′ , entonces A⇒w, ∗ para algún w ∈ T ∗ . También, como cada derivación en G ′es una derivación de G, se sabe que L(G ′ ) ⊆ L(G). Si hubiera algún w ∈ L(G) y no en L(G ′ ), entoncescualquier derivación de w ∈ G debe incluir una variable en V ′ − V o una producción en P − P ′ (queimplica que se usa una variable en V − V ′ ). Pero entonces existe una variable en V − V ′ que derivaun string de terminales, una contradicción.Lema 4 Dada una gramática libre de contexto G = (V, T, P, S), es posible encontrar efectivamente unagramática libre de contexto equivalente, G ′ = (V ′ , T ′ , P ′ , S), tal que por cada X en V ′ ∪ T ′ existen α y β en(V ′ ∪ T ′ ) ∗ tales que S ∗ ⇒ G ′αXβ.Demostración : El conjunto V ′ ∪ T ′ de símbolos que aparecen en las formas sentenciales derivables de G sepuede construir por un algoritmo iterativo. Ponga S en V ′ . Si A está en V ′ y A → α 1 |α 2 . . . α n , entoncesagregue a V ′ todas las variables que aparezcan en α 1 , α 2 , . . . o α n , y a T ′ todos los terminales en α 1 ,α 2 , . . . , α n . P ′ es el conjunto de producciones en P que sólo tienen símbolos de V ′ ∪ T ′ .Aplicando primero el lema anterior, y a continuación este último, es posible convertir una gramática enuna equivalente sin símbolos inútiles. Es interesante notar que si se utilizan en el orden contrario es posibleque aún queden símbolos inútiles.Teorema 18 Todo lenguaje libre de contexto no vacío es generado por una gramática libre de contexto queno tiene símbolos inútiles.Demostración : Sea L = L(G) un lenguaje libre de contexto no vacío. Sea G 1 el resultado de usar el primerlema en G, y sea G 2 el resultado de aplicar la construcción del segundo lema a G 1 . Suponga que G 2 tieneun símbolo inútil X. Por el último lema, hay una derivación S⇒ ∗ G 2 αXβ. Ya que todos los símbolos de G 2son símbolos de G 1 , del primer lema se sabe que S⇒ ∗ G 1 αXβ⇒ ∗ G 1 w para algún string de terminales w. Porlo tanto, ningún símbolo en la derivación αXβ⇒ ∗ G 1 w es eliminado por el segundo lema. Por lo tanto, Xderiva un string de terminales en G 2 y no es inútil como se suponía.✷✷