Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

32 CHAPTER 2. LENGUAJES FORMALESEjemplo 29 Sea L el lenguaje {a, b} sobre el alfabeto romano. La clausura y clausura positiva de estelenguaje, son los lenguajes:L ∗ = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, . . . }L + = {a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, . . . }Esta definición de las clausuras hace que las siguientes propiedades se cumplan para lenguajes sobrecualquier alfabeto:• Para todo lenguaje L : L ⊆ L + ⊆ L ∗ .• ε ∈ L + si y sólo si ε ∈ L.• Para todo lenguaje L : ε ∈ L ∗ .En particular, para el lenguaje vacío y para aquél que sólo consta de la palabra nula se cumplen lassiguientes propiedades:∅ ∗ = {ε} ∗ = {ε}Nótese que el uso de Σ ∗ para denotar el conjunto de todas las palabras sobre Σ es consistente con la notaciónde la clausura del alfabeto Σ, visto como el lenguaje finito que es.Ejemplo 30 En este ejemplo se muestra como es posible usar las definiciones ya vistas, para obtener algunasconclusiones sobre los lenguajes. En particular, considere el lenguajeL = {w ∈ {0, 1} ∗ /w tiene distinto número de ceros (0) que de unos (1) }.Se mostrará que L ∗ = {0, 1} ∗ .Primero, nótese que por la definición de la clausura de Kleene, se tiene que para cualquier par de lenguajesL 1 y L 2 : si L 1 ⊆ L 2 , entonces L ∗ 1 ⊆ L ∗ 2.Ya que tanto la palabra 0 como la palabra 1 tienen diferente número de ceros que de unos, se sabe que{0, 1} ⊆ L y, por lo tanto, que {0, 1} ∗ ⊆ L ∗ .Pero por la definición de L, también se sabe que L ∗ ⊆ {0, 1} ∗ . Y, por lo tanto, ya que cada uno essubconjunto del otro, se concluye que L ∗ = {0, 1} ∗ .2.3.3 Representación de LenguajesUn problema central en la teoría de la computación es la representación de lenguajes empleando especificacionesfinitas. Naturalmente, cualquier lenguaje finito es representable por la enumeración explícita de todasy cada una de las palabras en el lenguaje. El problema de la representación finita se hace interesante sólo enla medida que se consideran lenguajes infinitos. Pero, ¿qué es una especificación finita de un lenguaje? ¿quécaracterísticas debe cumplir para ser aceptable como tal? Lo primero que se puede decir es que debe, a suvez, ser una palabra, es decir, una secuencia finita de símbolos tomados de algún alfabeto. En segundo lugar,interesa que sean tales que lenguajes diferentes tengan representaciones diferentes, de otra forma difícilmentese les podría llamar representación del lenguaje.El problema es que estos dos requisitos ya implican que las posibles especificaciones finitas están seriamentelimitadas. El conjunto Σ∗ de palabras sobre un alfabeto Σ es infinito contable, por lo que el númerode posibles representaciones de lenguajes es, a su vez, infinito contable. Pero, por otro lado, el conjuntode todos los posibles lenguajes sobre un alfabeto Σ —esto es, 2 Σ∗ — es incontable, puesto que 2 N y, por lotanto, el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito contable, es incontable. Al tener sólo un número✷✷