Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.9.AMBIGÜEDAD INHERENTE 101se agregan producciones para [q 0 , Z 0 , q 0 ]:[q 0 , Z 0 , q 0 ] → 0 [q 0 , X, q 0 ] [q 0 , Z 0 , q 0 ][q 0 , Z 0 , q 0 ] → 0 [q 0 , X, q 1 ] [q 1 , Z 0 , q 0 ]requeridas por δ(q 0 , 0, Z 0 ) = {(q 0 , XZ 0 )} son[q 0 , Z 0 , q 1 ] → 0 [q 0 , X, q 0 ] [q 0 , Z 0 , q 1 ][q 0 , Z 0 , q 1 ] → 0 [q 0 , X, q 1 ] [q 1 , Z 0 , q 1 ]también requeridas por δ(q 0 , 0, Z 0 ) = {(q 0 , XZ 0 )}.Las producciones para las variables y las movidas relevantes de M, son:[q 0 , X, q 0 ] → 0 [q 0 , X, q 0 ] [q 0 , X, q 0 ]→ 0 [q 0 , X, q 1 ] [q 1 , X, q 0 ][q 0 , X, q 1 ] → 0 [q 0 , X, q 0 ] [q 0 , X, q 1 ]porque→ 0 [q 0 , X, q 1 ] [q 1 , X, q 1 ]δ(q 0 , 0, X) = {(q 0 , XX)}[q 0 , X, q 1 ] → 1 porque δ(q 0 , 1, X) = {(q 1 , ε)}[q 1 , Z 0 , q 1 ] → ε porque δ(q 1 , ε, Z 0 ) = {(q 1 , ε)}[q 1 , X, q 1 ] → ε porque δ(q 1 , ε, X) = {(q 1 , ε)}[q 1 , X, q 1 ] → 1 porque δ(q 1 , 1, X) = {(q 1 , ε)}Debe notarse que no hay producciones para las restantes variables ( [q 1 , X, q 0 ] y [q 1 , Z 0 , q 0 ] ). Como todaslas producciones para [q 0 , X, q 0 ] y [q 0 , Z 0 , q 0 ] tienen [q 1 , X, q 0 ] o [q 1 , Z 0 , q 0 ] a la derecha, ningún string determinales puede derivarse de ellas. Eliminando las producciones en que aparecen esas variables, se llega aS → [q 0 , Z 0 , q 1 ][(q 1 , Z 0 , q 1 ] → ε[q 0 , Z 0 , q 1 ] → 0 [q 0 , X, q 1 ] [q 1 , Z 0 , q 1 ] [(q 1 , X, q 1 ] → ε[q 0 , X, q 1 ] → 0 [q 0 , X, q 1 ] [q 1 , X, q 1 ] [(q 1 , X, q 1 ] → 1[q 0 , X, q 1 ] → 1En resumen de esta sección, se puede concluir que las siguientes tres aserciones son equivalentes:• L es un lenguaje libre de contexto.• L es N(M 1 ) para algún AA, M 1 .• L es L(M 2 ) para algún AA, M 2 .5.9 Ambigüedad InherenteEs muy fácil exhibir gramáticas libres de contexto que son ambiguas. Por ejemplo,S → A|BA → aB → aen que el único string del lenguaje (a) tiene dos árboles de derivación.Lo que no es tan simple es encontrar un lenguaje libre de contexto para el cual toda gramática seaambigua. En esta sección se muestra que en realidad hay lenguajes libres de contexto que son inherentementeambiguos. Se mostrará que el lenguajeL = {a N b N c M d M /N ≥ 1, M ≥ 1} ∪ {a N b M c M d N /N ≥ 1, M ≥ 1}es inherentemente ambiguo, probando que el conjunto infinito de strings de la forma a N b N c N d N (N ≥ 1),deben tener dos derivaciones por la izquierda distintas.✷