Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

112 CHAPTER 6. PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOHay varias propiedades de clausura de los lenguajes regulares que los lenguajes libres de contexto noposeen. Notable es el caso de la intersección y de la complementación.Teorema 31 Los lenguajes libres de contexto no son cerrados bajo intersección.Demostración : Ya se mostró que L 1 = {a i b i c i /i ≥ 1} no es un lenguaje libre de contexto. Se muestra quelos siguientes lenguajes sí son libres de contexto.L 2 = {a i b i c j /i ≥ 1 y j ≥ 1}L 3 = {a i b j c j /i ≥ 1 y j ≥ 1}Por ejemplo, las siguientes gramáticas los generanS 2 → AB S 3 → CDA → aAb|ab C → aC|aB → cB|c D → bDc|bcSin embargo L 1 = L 2 ∩ L 3 y entonces, si fueran cerrados bajo intersección, L 1 debiera ser libre decontexto. Se concluye que los lenguajes libres de contexto no son cerrados bajo intersección.Corolario 2 Los lenguajes libres de contexto no son cerrados bajo complementación.Demostración : Ya que son cerrados bajo unión, si fueran cerrados bajo complementación serían, por la leyde De Morgan, (L 1 ∩ L 2 = L 1 ∪ L 2 ), cerrados bajo intersección.Teorema 32 Si L es un lenguaje libre de contexto y R es un conjunto regular, entonces L ∩ R es libre decontexto.Demostración : Sea L = L(M) para un AA, M = (Q M , Σ, Γ, δ M , q 0 , Z 0 , F M ) y sea R = L(A) para un AFD,A = (Q A , Σ, δ A , p 0 , F A ). Se construye un AA M ′ para L ∩ R ejecutando M y A en paralelo. M ′ simulamovidas de M en input ε sin cambiar el estado de A. Cuando M hace una movida en símbolo a, M ′ simulaesa movida y también simula los cambios de estado de A en input a. M ′ acepta si y sólo si tanto A comoM aceptan. Formalmente seaM ′ = (Q A × Q M , Σ, Γ, δ, [p 0 , q 0 ] , Z 0 , F A × F M )con δ definida por δ([p, q] , a, X) ⊇ {([p ′ , q ′ ] , γ)} ssi δ A (p, a) = p ′ y δ M (q, a, X) ⊇ {(q ′ , γ)}. Si a = ε, entoncesp ′ = p.Graficamente, la máquina se comporta como sigueUna simple inducción en i muestra quesi y sólo si([p 0 , q 0 ] , w, Z 0 ) ⊢ M ′ i([p, q] , ε, γ)(q 0 , w, Z 0 ) ⊢ Mi(q, ε, γ) y δ(p0 , w) = pLa base, i = 0, es trivial pues p = p 0 y q = q 0 , γ = Z 0 y w = ε. Para la inducción, asuma que es verdadpara i − 1, y sea([p 0 , q 0 ] , xa, Z 0 ) M ⊢ i−1 ′ ([p ′ , q ′ ] , a, β) M ⊢ ′([p, q] , ε, γ)✷✷✷