Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

102 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOLema 7 Sean (N i , M i ), 1 ≤ i ≤ r, pares de conjuntos de enteros (los conjuntos pueden ser finitos oinfinitos). Seay seaS i = {(n, m)/n ∈ N i y m ∈ M i }S = S 1 ∪ S 2 ∪ . . . ∪ S rSi cada par de enteros (n, m) está en S, para todo n y m, con n ≠ m; entonces (n, n) está en S paratodos, excepto un conjunto finito de n.Demostración : Asuma que para todo n y m, con n ≠ m, cada par (n, m) ∈ S, y que hay un número infinitode n tales que (n, m) ∉ S. Sea δ el conjunto de todos los n tales que (n, n) no está en S. Se contruye unasecuencia de conjuntos δ r , δ r−1 , . . . , δ 1 , tales queδ ⊇ δ r ⊇ δ r−1 . . . ⊇ δ 1Cada δ i será infinito y para cada n, m en δ i , (n, m) no está enS i ∪ S i+1 ∪ . . . ∪ S rPara n ∈ δ, o n no está en N r o n no está en M r ; sino, (n, m) estaría en S r y por lo tanto en S. Hay,por lo tanto, un subconjunto infinito de δ, llamado δ r , tal que para todo n ∈ δ r , n ∉ N r , o para todo n ∈ δ r ,n ∈ M r . También, para n y m ∈ δ r , (n, m) no está en S r .Asuma que δ r , δ r−1 , . . . , δ i−1 ha sido construido para i ≤ r − 1; δ i se construye como sigue. Por cadan ∈ δ i+1 , n no está en N i o n no está en M i ; si no (n, n) habría estado en S i y por lo tanto en S, unacontradicción ya que δ i+1 ⊆ δ. Por lo tanto, ya sea un subconjunto infinito de δ i+1 no está en N i o unsubconjunto infinito de δ i+1 no está en M i . En cualquier caso, sea δ i ese conjunto infinito. Ahora, para todon y m en δ i , (n, m) no está en S i y por lo tanto, no está en S i ∪ S i+1 ∪ . . . ∪ S r .Ya que δ 1 tiene un número infinito de elementos, existen n y m en δ 1 , con n ≠ m. Ahora, (n, m) no estáen S 1 ∪ S 2 ∪ . . . ∪ S r = S, contradiciendo la hipótesis de que todo (n, m), con n ≠ m está en S. Por lo tanto,(n, m) está en S para todos excepto un conjunto finito de n.Lema 8 Sea G una gramática libre de contexto no ambigua. Entonces se puede construir efectivamenteuna gramática libre de contexto no ambigua, G ′ , equivalente a G, tal que G ′ no tiene símbolos inútiles, niproducciones unitarias, ni producciones vacías y en que para toda variable A, excepto posiblemente el símboloinicial de G ′ , se tiene una derivación A⇒ ∗ G ′X 1 AX 2 , en que X 1 y X 2 no son ambos ε.Demostración : Las construcciones para remover símbolos inútiles no convierten una gramática no ambiguaen una ambigua, ya que el conjunto de árboles de derivación no cambia. La construcción para removerproducciones unitarias no puede introducir ambiguedades, ya que si se incluye la producción A → α, hay unúnico B, tal que A⇒B ∗ y B → α es una producción, si no la gramática original era ambigua. Similarmentela construcción para remover producciones vacías, tampoco introduce ambiguedades.Se asume por lo tanto, que G no tiene símbolos inútiles ni producciones unitarias ni producciones vacías.Suponga que para ningún X 1 , X 2 , ambos no ε, A⇒X ∗ 1 AX 2 . Reemplace cada ocurrencia de A en el ladoderecho de cada producción por todos los lados derechos de las producciones-A. Como no hay produccionesunitarias ni producciones vacías ni símbolos inútiles, no puede haber una producción A → α 1 Aα 2 , si no hayuna derivación A⇒X ∗ 1 AX 2 con X 1 y X 2 no ambos ε. El cambio descrito no altera el lenguaje generado,como se mostró en un lema anterior. Cada nueva producción viene de una única secuencia de produccionesantiguas, si no G era ambigua. Por lo tanto la gramática resultante no era ambigua. A es ahora inútil ypuede eliminarse. Después de remover la variables que violan la condición del lema de la manera descrita,la nueva gramática es equivalente a la original, es aún no ambigua y satisface el lema.✷