Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

88 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOSi en cada paso de una derivación se usa una producción para reemplazar la variable de más a la izquierdaen la forma sentencial, se dice que esa es una derivación por la izquierda. Similarmente, si es la variable demás a la derecha, se dice que es una derivación por la derecha.Si w ∈ L(G) para alguna gramática libre de contexto G, entonces w tiene al menos un árbol de derivación;y correspondiente a un árbol de derivación en particular, w tiene una única derivación por la izquierda yuna única derivación por la derecha. Por supuesto que w puede tener varias derivaciones por la izquierda yvarias derivaciones por la derecha ya que puede haber más de un árbol de derivación para w. Sin embargo,es fácil mostrar que por cada árbol de derivación hay sólo una derivación por la izquierda y, también, unaúnica derivación por la derecha.Ejemplo 73 La derivación por la izquierda que corresponde al árbol del ejemplo anterior esS ⇒ aAS ⇒ aSbAS ⇒ aabAS ⇒ aabbaS ⇒ aabbaay la derivación por la derecha esS ⇒ aAS ⇒ aAa ⇒ aSbAa ⇒ aSbbaa ⇒ aabbaaUna gramática G tal que algún string tiene dos árboles de derivación se dice que es ambigua. Unadefinición equivalente es que algún string tenga más de una derivación por la izquierda o más de una por laderecha. Un lenguaje libre de contexto para el cual toda gramática es ambigua, se dice que es un lenguajeinherentemente ambiguo. Más adelante se verá que existen lenguajes inherentemente ambiguos.5.6 Simplificación de GramáticasHay varias maneras en que se puede restringir el formato de las producciones, sin reducir el poder generadorde las gramáticas libres de contexto. Si L es un lenguaje libre de contexto no vacío, entonces puede sergenerado por una gramática libre de contexto, G, con las siguientes propiedades:• Cada variable y cada terminal de G aparece en la derivación de algún string de L• No hay producciones de la forma A → B, en que A y B son variablesMás aún, si ε ∉ L, no es necesario que haya producciones de la forma A → ε.Primero se verá cómo eliminar símbolos inútiles de una gramática. Sea G = (V, T, P, S) una gramática.Un símbolo X es útil si existe una derivaciónS ∗ ⇒αXβ ∗ ⇒wpara algún α, β y w, con w ∈ T ∗ . Si un símbolo no es útil, se dice que es inútil. Hay dos aspectos queconsiderar en esto de la utilidad. Primero, algún string de terminales debe ser derivable de X y, segundo,X debe ser parte de un string derivable de S. Pero no sólo eso, sino que además X debe ocurrir en algunaforma sentencial de la que es posible derivar un string del lenguaje.Lema 3 Dada una gramática libre de contexto G = (V, T, P, S), con L(G) ≠ ∅, es posible encontrar efectivamenteuna gramática libre de contexto, G ′ = (V ′ , T, P ′ , S), tal que para todo A ∈ V ′ hay un w ∈ T ∗ parael cual A ∗ ⇒w.Demostración : Cada variable A con producciones A → w en P , pertenece a V ′ . Si A → X 1 X 2 . . . X n esuna producción en que cada X i es un terminal o una variable que ya está en V ′ , entonces es posible derivarun string de terminales desde A por una derivación que comienza con A ⇒ X 1 X 2 . . . X n y, por lo tanto,A ∈ V ′ . El conjunto V ′ se puede calcular con el siguiente algoritmo:✷