Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

8.2. MÁQUINA DE TURING UNIVERSAL 141X ✲w✲M✲SI✲SIM ′Figure 9.1: Construcción de M ′ , correspondiente al problema: ¿Es L(M) ≠ φ ?Habiendo producido el código para estas movidas, B agrega N + 3 a los índices de los estados de M eincluye la movidaδ(q N+3 , $) = (q N+4 , $, D) (hace partir a M )y todas las de M en la MT que genera. La MT resultante tiene un símbolo extra, $, pero por teorema delcapítulo 7,se puede construir M ′ con alfabeto de cinta {0, 1, B} y con seguridad se puede hacer que q 2 seael estado de aceptación. Esto completa el algoritmo B y su salida es la máquina M ′ deseada.Supóngase ahora que existe un algoritmo A que acepta L V . Entonces se construye un algoritmo C paraL u como se indica en la Figura 9.2.< M, W ✲ BM ′C✲ASI✚ ✚✚✚❃❆❆❆❆❆❆❆❯❩ ❩❩❩7NO✁ ✁✁✁✁✁✁✕NOSIFigure 9.2: Construcción del algoritmo CSi M acepta w, entonces L(M ′ ) ≠ φ; es decir, A dice NO y C dice SI . Si M no acepta w, entoncesL(M ′ ) = φ; A dice SI y C dice NO. Como C no puede existir, A no puede existir. Por lo tanto, L V no esrecursivo.Si L NV fuera recursivo, L V también lo sería pues es su complemento. Por lo tanto L NV es enumerablerecursivamente pero no recursivo. Si L V fuera enumerable recursivamente, L V y L NV serían recursivos. Porlo tanto L V no es enumerable recursivamente.Ejemplo 91 Considere los lenguajesL R = {< M > /L(M) es recursivo }L NR = {< M > /L(M) no es recursivo }.Nótese que L R no es {< M > /M siempre se detiene }, aún cuando incluye a este último. Una MTM puede aceptar un lenguaje recursivo aunque puede que M no pare para algunos strings que no estánen L(M); alguna otra MT equivalente a M debe siempre detenerse. Se probará que ni L R ni L NR sonenumerables recursivamente.✷