Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

4.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 71Ejemplo 63 Sea f(0) = a y f(1) = b ∗ , entonces f(010) = ab ∗ a. También, si L = 0 ∗ (0 + 1)1 ∗ entoncesf(L) = a ∗ (a + b ∗ )(b ∗ ) ∗= a ∗ b ∗ ✷Teorema 13 La clase de los conjuntos regulares es cerrada bajo sustitución por conjuntos regulares.Demostración : Sea R ⊆ Σ ∗ un lenguaje regular y por cada a ∈ Σ sea R a ⊆ ∆ ∗ un lenguaje regular.Sea f : Σ −→ 2 ∆∗ una sustitución definida por f(a) = R a , para todo a ∈ Σ.Seleccione expresiones regulares denotando R y cada R a , reemplace cada ocurrencia de un símbolo a enla expresión regular para R por la expresión regular para R a . Claramente, el resultado es otra expresiónregular.Para probar que dicha expresión describe f(R), basta observar que la sustitución de una unión, concatenacióno clausura, es la unión, concatenación o clausura de la sustitución. Es decir, por ejemplo,f(L 1 ∪ L 2 ) = f(L 1 ) ∪ f(L 2 ). Una simple inducción en el número de operadores de la expresión regularcompleta la demostración.Un tipo de sustitución especial es el homomorfismo. Un homomorfismo h es una sustitución tal que paracada símbolo a ∈ Σ, h(a) contiene sólo un string. Generalmente se considera que h(a) es el string mismomás que el conjunto que sólo lo contiene a él.Es también útil definir la imagen homomórfica inversa de un lenguaje L comoh −1 (L) = {x/h(x) ∈ L}y también para un string wh −1 (w) = {x/h(x) = w}Ejemplo 64 Sea h(0) = aa y h(1) = aba.Entonces h(010) = aaabaaa. Si L 1 = (01) ∗ entonces h(L 1 ) = (aaaba) ∗ .Sea L 2 = (ab + ba) ∗ a, entonces h −1 (L 2 ) = {1}. Obsérvese que un string en L 2 que comienza con una bno puede ser h(x) para ningún x ∈ {0, 1} ∗ ya que h(0) y h(1) comienzan con a. Por lo tanto si h −1 (w) noes vacío y w ∈ L 2 , entonces w comienza con a. Ahora, w = a en cuyo caso h −1 (w) = ∅; o w es abw ′ paraalgún w ′ en (ab + ba) ∗ a. Se concluye que cada palabra en h −1 (w) comienza con un 1 y, ya que h(1) = aba,w ′ debe comenzar con a. Si w ′ = a se tiene w = aba y h −1 (w) = {1}. Si w ′ ≠ a entonces w ′ = abw ′′ y porlo tanto w = ababw ′′ . Pero ningún string x en {0, 1} ∗ tiene h(x) comenzando con abab. Es decir, el únicostring en L 2 que tiene una imagen inversa bajo h es aba y, por lo tanto, h −1 (L 2 ) = {1}.Obsérvese que h(h −1 (L 2 )) = {aba} ≠ L 2 . Es fácil probar que h(h −1 (L)) ⊆ L y L ⊆ h −1 (h(L)) para todolenguaje L.Teorema 14 La clase de los conjuntos regulares es cerrada bajo homomorfismos y el inverso de un homomorfismo.Demostración : La clausura bajo homomorfismos es inmediata de la clausura bajo sustitución por conjuntosregulares, ya que todo homomorfismo es una sustitución por un conjunto regular en que cada h(a) tiene unsolo elemento.Para probar la clausura bajo el inverso de un homomorfismo, sea M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) un AFD que acepteL y sea h un homomorfismo de ∆ → Σ ∗ . Se construye un AFD, M ′ , que acepte h −1 (L) leyendo un símboloa ∈ ∆ y simulando M en h(a). Formalmente, sea M ′ = (Q, Σ, δ ′ , q 0 , F ) y se define δ ′ (q, a), para todo q ∈ Qy a ∈ ∆, como δ(q, h(a)). Nótese que h(a) puede ser un string largo o ε, pero δ está definida sobre todos losstrings por extensión. Es fácil mostrar, por inducción en |x|, que δ ′ (q 0 , x) = δ(q 0 , h(x)); es decir, M ′ aceptax si y sólo si M acepta h(x). Esto es, L(M ′ ) = h −1 (L(M)).✷✷