TeorÂ´Ä±a de AutÃ³matas y Lenguajes Formales

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Chapter 4PROPIEDADES DE LOSLENGUAJES REGULARESEn este capítulo se estudiarán propiedades de clausura y problemas de decisión para los lenguajes regulares.Hay varias preguntas que se pueden hacer respecto de los conjuntos regulares. Una pregunta es: dado unlenguaje L, especificado en alguna forma, ¿Es L regular? También es posible preguntarse si los lenguajesdescritos por expresiones regulares distintas son el mismo lenguaje4.1 Lema de Bombeo para Conjuntos RegularesEn esta sección se verá un resultado básico, llamado el Lema de Bombeo (o Pumping Lemma), que es uninstrumento muy poderoso para demostrar que ciertos lenguajes no son regulares. También es útil para eldesarrollo de algoritmos que respondan preguntas tales como si un AF acepta un lenguaje finito o no.Si un lenguaje es regular, es aceptado por un AFD, M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) con algún número particular (yfinito) de estados, N. Considérese ahora un string de entrada con más de N símbolos (o N):a 1 a 2 . . . a M (M ≥ N)y para i = 1, 2, . . . , M seaδ(q 0 , a 1 a 2 . . . a i ) = q i (1 ≤ i ≤ M)No es posible que los N + 1 estados (q 0 , q 1 , . . . , q N ) sean todos diferentes ya que hay sólo N estadosdistintos. Por lo tanto hay dos enteros j y k (con 0 ≤ j < k ≤ N) tales que q j = q k . El camino con etiquetaa 1 a 2 . . . a M se ilustra en la siguiente figura:a j+1 ... a k✛✘a 1 ... a j ✛✘ak+1 ... a M✛✘qq0 q=q j kM✚✙ ✚✙ ✚✙Figure 4.1: Esquema explicativo del Lema de BombeoDado que j < k, el string a j+1 . . . a k es de longitud 1 a lo menos y como k ≤ N, su longitud no es mayora N.67
68 CHAPTER 4. PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES REGULARESSi q M ∈ F , esto es, a 1 a 2 . . . a M ∈ L(M), entonces a 1 a 2 . . . a j a k+1 . . . a M también pertenece a L(M) yaque hay un camino que va de q 0 a q M , pasando por q j pero no por el loop con etiqueta a j+1 . . . a k .Formalmenteδ(q 0 , a 1 . . . a j a k+1 . . . a M ) = δ(δ(q 0 , a 1 . . . a j ), a k+1 . . . a M )= δ(q j , a k+1 . . . a M )= δ(q k , a k+1 . . . a M )= q m ∈ FEn forma similar, es posible reconocer el loop más de una vez, de hecho, tantas veces como se desee. Esdecir:a 1 . . . a j (a j+1 . . . a k ) i a k+1 . . . a Mestá en L(M) para cualquier i ≥ 0. Lo que se ha demostrado es que dado un string suficientementelargo, aceptado por un AF, se puede encontrar un substring cerca del comienzo del string, el que puede serbombeado, es decir repetido, cuantas veces se desee y el string resultante también será aceptado por el AF.Lema 2 Sea L un conjunto regular. Entonces hay una constante N tal que si z ∈ L y |z| ≥ N, se puedeescribir z = uvw, de tal forma que |uv| ≤ N y |v| ≥ 1 y, además, para todo i ≥ 0 uv i w ∈ L. Además, N noes mayor que el número de estados del más pequeño AF que acepta L.Demostración : Ver la discusión anterior al enunciado del lema. En ella z = a 1 a 2 . . . a M ; u = a 1 a 2 . . . a j ;v = a j+1 . . . a k y w = a k+1 . . . a M .Nótese que el lema de bombeo indica que si un lenguaje regular contiene un string suficientemente largo,z, entonces contiene un conjunto infinito de strings de la forma uv i w. El lema no establece que cada stringsuficientemente largo de un conjunto regular sea de la forma uv i w para algún valor de i. De hecho, (0 + 1) ∗contiene strings arbitrariamente largos en que ningún substring aparece tres veces consecutivas.El lema de bombeo es muy útil para probar que ciertos conjuntos no son lenguajes regulares. Lametodología usual es un “argumento adverso” del siguiente tipo:• Seleccione el lenguaje L que se desea probar no es regular.• El “adversario” elige N, la constante que se menciona en el lema de bombeo. Este puede ser cualquiervalor entero finito, pero una vez elegido, el adversario no lo puede cambiar.• Seleccione un string z ∈ L. La elección del string puede depender del valor de N.• El adversario divide z en u, v y w, sujeto a que |uv| ≤ N y que |v| ≥ 1.• Se obtiene una contradicción con el lema de bombeo, mostrando que para cualquier u, v y w elegidospor el adversario, existe un entero i para el cual uv i w no pertenece a L. Se puede entonces concluirque L no es regular. La selección de i puede depender de N, u, v y w.Es interesante notar que las selecciones propias corresponden a los cuantificadores universales y lasselecciones del adversario, a los cuantificadores existenciales en una presentación formal del lema de bombeo:(Para todo lenguaje regular L)(Existe un entero positivo N)(Para todo string z ∈ L con |z| ≥ N)(Existen u, v y w con z = uvw, |uv| ≤ N, |v| ≥ 1)(Para todo i no negativo uv i w ∈ L)✷
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Teoría de Autómatas y Lenguajes F
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