Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

1.1. CONJUNTOS 111.1.2 Conjuntos InfinitosUna propiedad básica de los conjuntos finitos es su tamaño, es decir, el número de miembros que contiene.Algunos hechos sobre el tamaño de los conjuntos finitos son tan evidentes, que difícilmente necesitan demostración.Uno de ellos es que si A es un subconjunto de B, el tamaño de A es menor o igual al de B; yque en caso de ser un subconjunto propio, el tamaño es simplemente menor.Sin embargo, si se extiende la noción de tamaño a los conjuntos infinitos, tratando de seguir un caminointuitivo, siempre se producirán dificultades. Por ejemplo, ¿Hay más cubos perfectos (0, 1, 8, 27, . . . ) quemúltiplos de 13 (0, 13, 26, 39, . . . )? Se puede especular con la respuesta, pero se ha demostrado que lo únicorazonable es suponer que tienen el mismo tamaño.Se dice que dos conjuntos, A y B, son equinumerosos (tienen la misma cardinalidad o, simplemente, elmismo número de elementos), si hay una función f : A → B que sea biyectiva. Así, por ejemplo, los cubosperfectos y los múltiplos de 13 son equinumerosos; la biyección está dada por f(13n) = n 3 , para todo númeronatural n.Ejemplo 3 Sea A el conjunto de los enteros pares y B el conjunto de todos los enteros. Obviamente, A esun subconjunto propio de B. Sin embargo, A y B tienen la misma cardinalidad: son equinumerosos. Lafunción:f(i) = 2i para todo entero i,es una biyección entre los enteros y los números pares. Similarmente, se puede demostrar que los imparesson, también, equinumerosos con los enteros.En general, un conjunto es finito si es equinumeroso con el conjunto {1, . . . ,n}, para algún númeronatural n. Un conjunto es infinito si no es finito. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales esinfinito; también son infinitos el conjunto de los números enteros, los reales, los cubos perfectos y muchosotros. Empero, no todos los conjuntos infinitos son equinumerosos entre sí: hay diferentes cardinalidadesentre ellos.Un conjunto se dice infinito contable si tiene la misma cardinalidad que los números naturales y se dicecontable si es finito o infinito contable. Un conjunto que no es contable es incontable. El conjunto de los cubosperfectos, los enteros y los racionales son algunos ejemplos de conjuntos infinitos contables; los irracionales,los reales y los complejos, son incontables.Ejemplo 4 Se demostrará que el conjunto potencia de N, el conjunto de todos los subconjuntos de númerosnaturales, es incontable. Es decir, que hay más subconjuntos de números naturales que números naturalesmismos.Suponga que 2 N es un conjunto infinito contable —ciertamente no es finito, ya que N es infinito— esdecir, suponga que hay una biyección f : N → 2 N . Luego, 2 N puede listarse como:2 N = {S 0 , S 1 , S 2 , . . .},en que para cada número natural i, f(i) = S i . Considere ahora el conjunto:D = {n ∈ N/n ∉ S n },el conjunto de los números naturales que no pertenecen al subconjunto que enumeran. Claramente, D esun subconjunto de N; y como tal, debe ser S k para algún número natural k. La pregunta que es necesariohacer, es: ¿Pertenece k a S k ?• Suponga que la respuesta es sí, que k ∈ S k . Entonces, por la definición de D, k ∉ D. Pero D = S k ,por lo tanto, k ∉ S k . Una contradicción.✷