Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

20 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASUna relación binaria R en un conjunto finito S, puede representarse por un grafo dirigido en que cadanodo del grafo corresponde a un elemento de S, y en que hay un arco de un vértice v 1 a un vértice v 2 , si ysólo si v 1 Rv 2 . Una relación binaria R en un conjunto finito S se representa, entonces, por el grafo dirigidoG = (S, R). A la inversa, cualquier grafo dirigido G = (V, A) puede interpretarse como la representación deuna relación binaria A en el conjunto V , de sus nodos.Ejemplo 16 Sea R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 3), (3, 1), (4, 3)} una relación binaria definida en el conjuntoS = {1, 2, 3, 4}. El grafo dirigido que la representa se muestra en la Figura 1.4.★✥✎ ☞✓✏ ❄✓✏ ❄✓✏ ✓✏1 2 ✲✄ 3 ✛✛ 4✒✑ ✒✑ ✒✑ ✒✑✻✖ ✌✍ ✌ ✻✫✪Figure 1.4: Representación gráfica para la relación R✷1.4.1 PropiedadesEs posible definir muchas propiedades que las relaciones binarias pueden o no cumplir.propiedades más usadas y sus definiciones para una relación R en S, son las siguientes:Algunas de las1. Reflexividad: R es refleja si y sólo siaRa, para todo a ∈ S.2. Irreflexividad: R es irrefleja si y sólo sia ̸Ra, para todo a ∈ S.3. Simetría: R es simétrica si y sólo siaRb implica bRa, para todo a y b ∈ S.4. Asimetría: R es asimétrica si y sólo siaRb implica b ̸Ra, para todo a y b ∈ S.5. Antisimetría: R es antisimétrica si y sólo siaRb y bRa implica a = b, para todo a y b ∈ S.6. Transitividad: R es transitiva si y sólo siaRb y bRc implica aRc, para todo a, b y c ∈ S.Es conveniente hacer notar que según estas definiciones, toda relación asimétrica debe ser irrefleja. Por elcontrario, una relación antisimétrica puede ser refleja, irrefleja o no tener ninguna de esas dos propiedades.