Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

52 CHAPTER 3.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES REGULARES✬✩✎ 1 ☞0✛✘ ❄✛✘ ★✥✲✝ ✛✘ ✆✛✘0✲ a ✲ b1 ✲ ✛ 0c d✚✙ ✚✙ ✚✙ ✚✙❅ ❅ ✧✦ ❅■ 1 ❅❅❅❅❅❅❘ 1 0 ❅❅❅❅❅❅❘ ❅ ❅✎0☞ ❅0 ❅✛✘ ✛✘ ✲✝ ✛✘ ✆ ✒✠ 1❅✛✘11e ✲ f ✲ g ✛ 0h✚✙ ✚✙ ✚✙ ✚✙✻✻✫ 1✪✫0✪(a, b) : (δ(a, 1), δ(b, 1)) = (f, c) ⇒ (a, b) recibe ×(a, d) : (δ(a, 0), δ(d, 0)) = (b, c) ⇒ (a, d) recibe ×(a, e) : (δ(a, 0), δ(e, 0)) = (b, h) ⇒ (a, e) se pone en lista (b, h)(a, e) : (δ(a, 1), δ(e, 1)) = (f, f) ⇒ No ayuda(a, f) : (δ(a, 0), δ(f, 0)) = (b, c) ⇒ (a, f) recibe ×(a, g) : (δ(a, 0), δ(g, 0)) = (a, g) ⇒ (a, g) se pone en lista (b, g)(b, g) : (δ(b, 1), δ(g, 1)) = (c, e) ⇒ (b, g) y (a, g) reciben ×y así sucesivamente, se obtiene la tabla que aparece en la Figura 3.16.siguientes pares de estados son equivalentesDe ella, se concluye que losa ≡ e; b ≡ h; d ≡ fEl autómata finito con el mínimo número de estados se presenta en la Figura 3.17✷El algoritmo para marcar los pares de estados que son distinguibles es el siguiente:begin(1) FOR p en F y q en Q − F DO mark (p, q);(2) FOR cada par de estados distintos (p, q) en F × F o (Q − F ) × (Q − F ) DO(3) IF para algun a ∈ Σ (δ(p, a), δ(q, a)) esta marcado THEN BEGIN(4) mark (p, q)(5) Marque recursivamente todos los pares no marcados de la lista (p, q)y de las listas de elementos marcadosEND ELSE (* ningun (δ(p, a), δ(q, a)) esta marcado(6) FOR todo a ∈ Σ DO(7) Ponga (p, q) en la lista de (δ(p, a), δ(q, a)) a menos que δ(p, a) = δ(q, a)endLema 1 Sea M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) un AFD. Entonces p es distinguible de q si y sólo si la entrada (p, q) estámarcada después de aplicar el algoritmo anterior.Demostración : Asuma que p es distinguible de q y sea x el string más corto que los distingue. Se prueba,por inducción en la longitud de x que la entrada (p, q) es marcada por el algoritmo. Si x = ε, entonces