TeorÂ´Ä±a de AutÃ³matas y Lenguajes Formales

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6.3. ALGORITMOS DE DECISIÓN 113Input a A, M y M ′✻Controlde M ′Controlde AControlde M✛❄StackdeM y M ′Figure 6.5: Construcción de un AA para L ∩ Ren que w = xa; con a ∈ Σ ∪ {ε}. Por la hipótesis de inducciónδ A (p 0 , x) = p ′ y (q 0 , x, Z 0 ) ⊢ Mi−1(q ′ , ε, β)Por la definición de δ, el hecho de que ([p ′ , q ′ ] , a, β) ⊢ M ′([p, q] , ε, γ) indica que δ A(p ′ , a) = p y (q ′ , a, β) ⊢ M (q, ε, γ).Por lo tanto δ A (p 0 , w) = p, y(q 0 , w, Z 0 ) ⊢ Mi(q, ε, γ)El converso, que (q 0 , w, Z 0 ) M ⊢ i(q, ε, γ) y δA (p 0 , w) = p implica ([p 0 , q 0 ] , w, Z 0 ) M⊢ i([p, q] , ε, γ) es similar.✷Ejemplo 82 Sea L = {ww/w ∈ {a, b} ∗ }. Esto es, L consiste de todas las palabras cuyas primeras ysegundas mitades son las mismas. Si L fuera libre de contexto, entonces L 1 = L ∩ a + b + a + b + debiera serlo,ya que son cerrados bajo intersección con un lenguaje regular. Pero L 1 es claramente {a i b j a i b j /i ≥ 1, j ≥ 1}casi idéntico a uno que ya se probó no era libre de contexto.Sea h el homomorfismo h(a) = h(c) = a y h(b) = h(d) = b. Entonces h −1 (L 1 ) contiene strings de laforma x 1 x 2 x 3 x 4 en que x 1 y x 3 tienen igual largo y pertenecen a (a + c) + y x 2 y x 4 tienen igual largo yestán en (b + d) + . Por lo tanto h −1 (L 1 ) ∩ a ∗ b ∗ c ∗ d ∗ es igual a {a i b j c i d j /i ≥ 1, j ≥ 1}. Como este último noes libre de contexto, L tampoco lo es.6.3 Algoritmos de DecisiónHay varias preguntas sobre los lenguajes libres de contexto que se puede responder. Ellas incluyen determinarsi un lenguaje dado es vacío, finito o infinito y si un string está en un lenguaje. Sin embargo, hay otraspreguntas acerca de los lenguajes libres de contexto para los cuales no existe algoritmo que las responda.Entre éstas está el saber si dos gramáticas son equivalentes, si un lenguaje es cofinito, si el complemento deun lenguaje libre de contexto es también libre de contexto y si una cierta gramática es o no ambigua. Enesta sección se verán algoritmos para algunas de las preguntas que tienen algoritmos.Como en el caso de los lenguajes regulares, hay varias representaciones posibles para los lenguajes libresde contexto, es decir, gramáticas libres de contexto y autómatas apiladores que aceptan por stack vacío o✷
114 CHAPTER 6. PROPIEDADES DE LOS LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOpor estado final. Como las construcciones del capítulo 5 son todas efectivas, un algoritmo que usa una representaciónse puede hacer funcionar para cualquiera de las otras. En esta sección se usará la representaciónpor gramáticas libres de contexto.Teorema 33 Existen algoritmos para determinar si un lenguaje libre de contexto es1. vacío,2. finito, o3. infinito.Demostración : Ya se ha dado un algoritmo para probar si un lenguaje libre de contexto es vacío. Para unagramática G = (V, T, P, S), el test del primer lema para remover símbolos inútiles determina si una variablegenera algún string de terminales. Obviamente L(G) es no vacío si y sólo si el símbolo inicial, S, generaalgún string de terminales.Para saber si L(G) es finito, utilice el algoritmo del teorema correspondiente para construir una gramáticaG ′ = (V ′ , T, P ′ , S) en la forma normal de Chomsky, que genera L(G) − {ε}. L(G ′ ) es finito si y sólo si L(G)es finito. Un test simple para la finitud de una gramática en forma normal de Chomsky sin símbolos inútiles,es construir un grafo dirigido con un vértice por variable y un arco de A a B, si hay una producción de laforma A → BC o A → CB para algún C. El lenguaje generado es finito si y sólo si este grafo no tiene ciclos.(Ver texto).Otra pregunta que se puede responder es: dada una gramática libre de contexto, G = (V, T, P, S) y unstring x en T ∗ , ¿está x ∈ L(G)? Aquí se presentará un algoritmo simple de orden ϑ(|x| 3 ) conocido como elalgoritmo de Cocke-Younger-Kasami o CYK. Dado x de longitud N ≥ 1 y una gramática G, que se asumeestá en la forma normal de Chomsky, se determina para cada i, para cada j y para cada variable A, siA ∗ ⇒X ij , en que X ij es el substring de x que tiene largo j y comienza en la posición i.El proceso es por inducción en j. Para j = 1, A ∗ ⇒X ij si y sólo si A → X ij es una producción, ya queX ij tiene largo 1. Para valores mayores de j, si j > 1, entonces A ∗ ⇒X ij si y sólo si hay alguna producciónA → BC y algún k, 1 ≤ k ≤ j, tal que B deriva los primeros k símbolos de X ij y C deriva los últimosj − k símbolos de X ij . Esto es, B ∗ ⇒X ij y C ⇒ X i+k,j+k . Ya que tanto k como j − k son menores que j,en el proceso ya se sabe si estas dos últimas derivaciones son posibles. Por lo tanto, se puede determinar siA ∗ ⇒X ij . Cuando j = N, se puede determinar si S ∗ ⇒X 1N = x. Es decir, se puede saber si x ∈ L(G).Para definir el algoritmo de CYK en forma precisa, sea V ij el conjunto de variables A, tales que A ∗ ⇒X ij .Se puede asumir que 1 ≤ i ≤ N − j + 1 ya que no hay string más largo de N − i + 1 que comienza en posicióni.(1) FOR i := 1 TO N DO(2) V i1 := {A/A → a ∈ P y a es el i-esimo simbolo de x }(3) FOR j := 2 TO N DO(4) FOR i := 1 TO N − j + 1 DO BEGIN(5) V ij := ∅;(6) FOR k := 1 TO J − 1 DO(7) V ij := V ij ∪ {A/A → BC ∈ P , B ∈ V ik y C ∈ V i+k,j−k }ENDEl loop de líneas (1) y (2) inicializan para j = 1. Como la gramática es fija, línea (2) toma tiempoconstante. Por lo tanto el ciclo toma ϑ(N) pasos.Los loops anidados de líneas (3) y (4) hacen que las líneas (5) a (7) se ejecuten a lo más N 2 veces.La línea (5) toma tiempo constante cada vez, es decir, en total se ejecuta ϑ(N 2 ) veces. El loop de lalínea (6) hace que la línea (7) se ejecute ϑ(N 3 )veces. Es decir el algoritmo es ϑ(N 3 ).✷
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Teoría de Autómatas y Lenguajes F
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