Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

14 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASde donde se concluye, usando la expresión para el cubo de un binomio, que:2 n+1 > (n + 1) 3como se quería mostrar.Luego, por el principio de inducción matemática, se concluye que la desigualdad se cumple para todoslos números naturales mayores o iguales a 10. Es interesante destacar que en el paso inductivo, no sólo sehizo uso de la hipótesis de inducción, sino que también se utilizó la condición que indica que N es mayor oigual a 10 en este caso.Nuevamente, la analogía con las cartas del juego de dominó sirve para explicar, al menos intuitivamente,esta formulación del principio de inducción. En estas aplicaciones, el hecho concreto establecido por la basees que la carta número k cae. Este hecho, sumado a lo probado con la inducción —en la que además eslegítimo suponer que n es mayor o igual que k, pues son esas las cartas que interesan— es suficiente paraestablecer que todas las cartas, a partir de la carta número k, caerán. Y por lo tanto se puede concluir quela proposición se cumple para todo número natural mayor o igual al número k.1.2.2 Inducción CompletaExisten muchas otras formas de expresar el principio de inducción. Una generalización bastante útil, esla llamada inducción completa. Ella expresa, en una de sus formas, que para demostrar que una ciertaproposición P (n) es válida para todos los números naturales, es suficiente probar que se cumple para cero y,además, probar que si se cumple para todos los naturales entre la base y un número natural n cualquiera,se cumple también para el número siguiente a ése: n + 1. Es decir, basta establecer:• P (0), y que• para todo número natural n: P (0), P (1), . . . y P (n) implican P (n + 1).La diferencia con el principio enunciado anteriormente, radica en que la hipótesis de inducción es muchomás fuerte en este caso, ya que permite suponer que la proposición se cumple no sólo para n, sino que engeneral, para cualquier número menor que n + 1, y mayor o igual a la base. La posibilidad de utilizar estahipótesis hace que las demostraciones sean, algunas veces, mucho más sencillas y cortas que si se usara elenunciado original; aún cuando la demostración sería igualmente posible, ya que la inducción completa noes un principio nuevo, sino que una consecuencia del principio original.Ejemplo 7 Se demuestra que todo número natural n, mayor o igual a dos, se puede escribir como el productode números primos 1 . Un número primo es un número natural mayor que uno, que no tiene divisores exactos,excepto 1 y el número mismo. La demostración es por inducción completa en n, sobre los números naturales,a partir del número dos.Base (n = 2): El número 2 se puede escribir como el producto de números primos en que el único factor esel número 2 mismo. Claramente 2 es un primo, ya que es mayor que 1 y sólo es divisible, en formaexacta, por 1 y por 2, el número mismo.Inducción (n ≥ 2): La hipótesis de inducción asegura que todo número natural k entre 2 y n, ambosinclusive, se puede escribir como el producto de números primos. Se desea demostrar que el númeron + 1 también puede descomponerse en esta forma.1 Ésta es una parte del llamado Teorema Fundamental de la Aritmética, que indica que todo número natural mayor que uno,puede expresarse en forma única como el producto de números primos. La unicidad se refiere a que hay un único conjunto deprimos envueltos en ese producto, y a que cada número primo tiene multiplicidad fija en él.✷