Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

58 CHAPTER 3. ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES REGULARES ✷Ejemplo 57 La expresión regular 0 ∗ 1 ∗ 2 ∗ representa cualquier número de ceros, seguidos de cualquier númerode 1’s, seguidos de cualquier número de 2’s. Este es el lenguaje aceptado por el AFND-ε cuyo diagramade transición aparece al comienzo de la sección anterior. Véase Figura 3.10La expresión regular 00 ∗ 11 ∗ 22 ∗ denota aquellos strings en 0 ∗ 1 ∗ 2 ∗ con al menos uno de cada símbolo. Esposible abreviarlo como 0 + 1 + 2 + , en lugar de 00 ∗ 11 ∗ 22 ∗ .Se probará ahora, que los lenguajes aceptados por los autómatas finitos son, precisamente, los lenguajesdescritos por las expresiones regulares. Esta equivalencia es la razón por la que dichos lenguajes son llamadosconjuntos regulares. Para ello, es necesario probar dos teoremas. El primero mostrará que por cada expresiónregular es posible construir un AFND-ε que acepte el mismo lenguaje que ella describe. El segundo, quepor cada AFD es posible construir una expresión regular que describa el mismo lenguaje que él acepta.En conjunto con los dos teoremas demostrados anteriormente, éstos mostrarán que los cuatro mecanismosde definición de lenguajes mostrados en este capítulo, son esencialmente equivalentes, sirven para definir lamisma clase de lenguajes: los conjuntos regulares. En la Figura 3.18 se muestran las construcciones vistaso por ver; un arco de A a B (A → B), indica que por cada descriptor de tipo A es posible construir unoequivalente de tipo B:✷✬AFND✄❄✻✩❄AFD◗◗◗✪ ✫Expresión Regular ✑✲AFND-ε✑✸✑✛✲✲Se ha visto cómo construir uno equivalenteSe verá cómo construir uno equivalenteEs un caso particular de ...Figure 3.18: Equivalencias entre lenguajes aceptados por distintos mecanismosTeorema 8 Sea r una expresión regular. Existe un AFND-ε que acepta el lenguaje L(r).Demostración : Se muestra, por inducción en el número de operadores de la expresión regular r, que existeun AFND-ε, M, con un solo estado final, sin transiciones que salgan de él, tal que L(M) = L(r).Base (Cero operadores): La expresión regular debe ser ε, ∅ o a, para algún a ∈ Σ, los autómatas siguientessatisfacen las condiciones en estos casos:Inducción: Se asume que el teorema se cumple para expresiones regulares con N o menos operadores. Sear una expresión regular con N + 1 operadores; hay tres casos que dependen de la forma de r.