Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

138 PROPIEDADES DE L. ENUMERABLES RECURSIVAMENTE Y RECURSIVOSLa existencia de M 1 es suficiente para probar el teorema. Sin embargo, usando los teoremas del capítulo 7,se puede encontrar una MT con una cinta semi-infinita y alfabeto {0, 1, B} que acepte L u . Esa MT enparticular se denominará M U , la Máquina de Turing Universal, ya que ella hace el trabajo de cualquier MTcon alfabeto de entrada {0, 1}.Según el lema 13, el lenguaje diagonal L D no es enumerable recursivamente y, por lo tanto, no esrecursivo. Por un teorema anterior se concluye que L D no es recursivo. Nótese que L D = {w i /M i aceptaw i }. Se probará que el lenguaje universal L u = {< M, w > /M acepta w} no es recursivo, reduciendo L D aL u . Por lo tanto L u es un lenguaje enumerable recursivamente, pero no recursivo; en realidad, L D es otroejemplo de ese tipo.Teorema 46 L u no es recursivo.Demostración : Supóngase que A fuera un algoritmo que reconoce L u . Entonces se podría reconocer L Dde la siguiente manera. Dado un string w ∈ (0 + 1) ∗ , se determina (fácilmente) el valor de i, tal que w = w i .Ese entero i, en binario, es el código para una MT M i . Se alimenta a A con < M i , w i > y se acepta w si ysólo si M i acepta w i . Es fácil ver que el algoritmo así construido acepta w si y sólo si w = w i y w i ∈ L(M i ).Por lo tanto, se tiene un algoritmo para L D . Como dicho algoritmo no puede existir, se concluye que lasuposición de que existe un algoritmo A para L u es falsa. Por lo tanto, L u es enumerable recursivamente,pero no recursivo. (Ver Figura 8.6).w ✲ ✲HIPOTETICO✘✘✿ SICONVERTIDORA para Lu ❳❳3 NOAlgoritmo construido para L u✲✲SINOFigure 8.6: Construcción de L D✷