Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

3.4. TEOREMA DE MYHILL-NERODE. 47basta mostrar entonces queperoδ ′ (ˆδ(q 0 , w), a) = ˆδ(q 0 , wa)δ ′ (ˆδ(q 0 , w), a) = ⋃ q∈ˆδ(q 0,w) δ′ (q, a) = ⋃ q∈ˆδ(q 0,w) ˆδ(q, a)= ˆδ(ˆδ(q 0 , w), a)= ˆδ(q 0 , wa)como se quería. Para completar la prueba, se mostrará que δ ′ (q 0 , x) contiene un estado de F ′ si ysólo si ˆδ(q 0 , x) contiene un estado de F . Si x = ε ésto es cierto por la definición de F ′ ; es decir,δ ′ (q 0 , ε) = {q 0 } y q 0 ∈ F ′ cuando ˆδ(q 0 , ε) ∈ F . Si x ≠ ε entonces x = wa para algún a ∈ Σ. Si ˆδ(q 0 , x)contiene un estado de F , con toda seguridad δ ′ (q 0 , x) contiene el mismo estado en F ′ . Si δ ′ (q 0 , x)contiene un estado en F ′ que no sea q 0 , ˆδ(q 0 , x) lo contiene en F . Si δ ′ (q 0 , x) contiene a q 0 y q 0 ∉ F ,entonces como ˆδ(q 0 , x) es igual a la clausura − ε(δ(ˆδ(q 0 , w), a)), los estados en clausura − ε(q 0 ) y enF deben estar en ˆδ(q 0 , x).Ejemplo 46 Considere el AFND-ε cuyo diagrama de transición se muestra en la Figura 3.10. Se construiráun AFND usando el método implícito en la demostración del teorema anterior, a partir de él.clausura − ε(q 0 ) = {q 0 , q 1 , q 2 }incluye a q 2 ∈ F , por lo tantoF ′ = F ∪ {q 0 } = {q 0 , q 2 }ˆδ(q, a) = δ ′ (q, a)Q \ Σ 0 1 2q 0 {q 0 , q 1 , q 2 } {q 1 , q 2 } {q 2 }q 1 ∅ {q 1 , q 2 } {q 2 }q 2 ∅ ∅ {q 2 }y el diagrama del AFND resultante queda:✛ ✘ ✛ ✘ ✛ ✘✲✂✛✘0 1 2✓✏✁✓✏✡✲ ✠✲✂✛✘✓✏✁✲ q 0,1 ✲ 1,20 q 1✲ q 2✚✙✒✑ ✒✑ ✚✙✒✑✻✫ 0,1,2✪Figure 3.11: AFND obtenido, equivalente al AFND-ε✷3.4 Teorema de Myhill-Nerode.Con cualquier lenguaje L es posible asociar una relación de equivalencia R L definida porXR L Y si y sólo si (XZ ∈ L ssi Y Z ∈ L) ∀Z ∈ Σ ∗En el peor caso, cada string está en una clase de equivalencia por sí solo, pero es posible que haya menosclases de equivalencia. En particular, el índice (número de clases de equivalencia) es siempre finito si L esun lenguaje regular.✷