Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

6.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 111Input a M ′✻hControlde M ′❄Buffer✻Controlde M✛❄StackdeM y M ′Figure 6.4: Construcción de un AA que acepte h −1 (L)Por lo tanto si M acepta h(w), esto es,(q 0 , h(w), Z 0 ) ⊢ M∗(p, ε, β)para p ∈ F y β ∈ Γ ∗ , se concluye que([q 0 , ε] , w, Z 0 ) ⊢ M ′ ∗([p, ε] , ε, β)es decir, M ′ acepta w. Por lo tanto L(M ′ ) ⊇ h −1 (L(M)).Al revés, suponga que M ′ acepta w = a 1 a 2 . . . a N . Como regla (3) sólo puede aplicarse con el buffer(segundo componente de Q ′ ) vacío, la secuencia de movidas de M ′ que conducen a aceptar w, puede escribirsecomo:([q 0 , ε] , a 1 a 2 . . . a N , Z 0 )⊢∗M ′([p 1 , ε] , a 1 a 2 . . . a N , α 1 )⊢M ′ ([p 1, h(a 1 )] , a 2 . . . a N , α 1 )⊢∗M ′([p 2 , ε] , a 2 . . . a N , α 2 )⊢M ′ ([p 2, h(a 2 )] , a 3 . . . a N , α 2 ).⊢∗M ′([p N−1 , ε] , a N , α N )⊢M ′ ([p N−1, h(a N )] , ε, α N )⊢∗M ′([p N , ε] , ε, α N+1 )En que p N ∈ F . Las transiciones de estados [p i , ε] a [p i , h(a i )] son por regla (3); las demás, por reglas(1) y (2). Por lo tanto (q 0 , ε, Z 0 ) ⊢ M∗(p1 , ε, α 1 ) y, para todo i,(p i , h(a i ), α i ) ⊢ M∗(pi+1 , ε, α i+1 )lo que indica que(q 0 , h(a 1 a 2 . . . a N ), Z 0 ) ⊢ M∗(pN , ε, α N+1 )es decir, h(a 1 a 2 . . . a N ) ∈ L(M). Luego, L(M ′ ) ⊆ h −1 (L(M)) y por lo tanto se concluye que L(M ′ ) =h −1 (L(M)).