Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

7.7. MÁQUINAS DE TURING COMO GENERADORES 131Considérese ahora la generación de pares (i, j) en tal forma que cada par sea generado después de unacantidad finita de tiempo. La tarea no es tan simple como parece, el método ingenuo de generar: (1,1),(1,2), (1,3), . . . , nunca genera pares en que i ≥ 1. En lugar de esto, los pares se deben generar en orden desu suma, i + j, y entre los de igual suma, en orden creciente de i. Esto es, se genera (1,1), (1,2), (2,1), (1,3),(2,2), (3,1), (1,4), . . . . El par (i, j) es el {[(i + j − 1)(i + j − 2)]/2 + i}-ésimo par generado. Este orden tienela propiedad deseada de que hay un tiempo finito en el cual cualquier par en particular es generado.Una MT que genera pares (i, j) en este orden en binario, es fácil de diseñar y se deja al lector dicha labor.Tal MT será llamada el generador de pares. Incidentalmente, el orden usado por el generador de paresdemuestra que los pares de enteros pueden ponerse en correspondencia 1 a 1 con los enteros, un resultadoaparentemente paradójico descubierto por Georg Kantor cuando él mostró que los racionales (que en realidadson la razón entre dos enteros), eran equinumerosos con los enteros.Teorema 40 Un lenguaje es enumerable recursivamente si y sólo si es G(M 2 ) para alguna MT, M 2 .Demostración : Con el lema anterior ya probado, sólo se necesita probar cómo un lenguaje enumerablerecursivamente L = L(M 1 ) puede ser generado por una MT, M 2 . M 2 simula al generador de pares. Cuandoel par (i, j) es generado, M 2 produce la i-ésima palabra w i , en orden canónico y simula j pasos de M 1 enw i . Si M 1 acepta en el paso j, contando la DII como paso 1, entonces M 2 genera w i .Es claro que M 2 genera sólo strings en L. Si w ∈ L, sea w la i-ésima palabra en el orden canónico parael alfabeto de L y suponga que M 1 acepta w en j movidas. Como toma sólo un tiempo finito para que M 2genere cualquier string en orden canónico o simular un número determinado de movidas de M 1 , es claroque M 2 eventualmente producirá el par (i, j). En ese momento, w será generado por M 2 . Por lo tanto,L = G(M 2 ).Corolario 3 Si L es un conjunto enumerable recursivamente, entonces hay un generador para L que enumeracada string en L exactamente una vez.Demostración : La MT, M 2 , descrita en la demostración del teorema 40 tiene dicha propiedad ya que generaw i sólo cuando considera el par (i, j), en que j es exactamente el número de pasos que M 1 toma para aceptarw i .Se mostrará ahora, que los conjuntos recursivos son precisamente aquellos conjuntos cuyos strings puedenser generados en orden canónico.Lema 12 Si L es recursivo, entonces hay un generador para L que imprime los strings de L en ordencanónico y no imprime otras palabras.Demostración : Sea L = L(M 1 ⊆ Σ ∗ , en que M 1 se detiene en todos sus inputs. Se construye M 2 paragenerar L, como sigue. M 2 genera (en una cinta de borrador) las palabras en Σ ∗ de a una a la vez y enorden canónico. Después de generar algún string w, M 2 simula M 1 en w. Si M 1 acepta w, M 2 genera w.Como M 1 para siempre, se sabe que M 2 terminará de procesar cada string después de un tiempo finito y,por lo tanto, considerará eventualmente cada string en Σ ∗ . Obviamente, M 2 genera L en orden canónico.El converso de este lema, que si L puede ser generado en orden canónico, entonces L es recursivo, estambién verdadero. Sin embargo, hay un detalle que debiera quedar claro. En el lema anterior fue posibleconstruir M 2 a partir de M 1 . Sin embargo, dada una MT, M, que genera L en orden canónico, se sabe queexiste una máquina de Turing que siempre para y que reconoce L, pero no hay algoritmo para construirla.Supóngase que M 1 genera L en orden canónico. Lo natural es construir M 2 , tal que en input w simuleM 1 hasta que M 1 genere w o una palabra posterior a w en el orden canónico. En el primer caso M 2 acepta✷✷✷