Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

Chapter 6PROPIEDADES DE LOSLENGUAJES LIBRES DECONTEXTOEste capítulo es, respecto de los lenguajes libres de contexto, lo que el capítulo 4 es respecto de los lenguajesregulares. En primer lugar se verá un lema de bombeo para probar que ciertos lenguajes no son libres decontexto. Luego se considerarán algunas propiedades de clausura y, finalmente, se verán algunos algoritmospara responder ciertas preguntas sobre lenguajes libres de contexto.6.1 Lema de Bombeo para Lenguajes Libres de ContextoEl lema de bombeo para conjuntos regulares establece que todo string suficientemente largo de un conjuntoregular contiene un substring corto que se puede bombear. Es decir, al insertar tantas copias del substringcomo se desee, se obtiene siempre un string en el conjunto regular. El lema de bombeo para lenguajes libresde contexto establece que hay siempre dos substrings cortos que pueden ser repetidos, el mismo número deveces ambos, tanto como se desee.Lema 9 Sea L un lenguaje libre de contexto. Entonces, hay una constante N, que sólo depende de L, talque si Z ∈ L y |Z| ≥ N, entonces es posible escribir Z = uvwxy tal que1. |vx| ≥ 12. |vwx| ≤ N3. ∀i ≥ 0, uv i wx i y ∈ LDemostración : Sea G una gramática libre de contexto en la forma normal de Chomsky que genera L − {ε}.Obsérvese que si Z ∈ L(G) y Z es largo, entonces cualquier árbol de derivación para Z debe contener uncamino largo. Más precisamente, se muestra por inducción en i, que si el árbol de derivación de un stringgenerado por una gramática en la forma normal de Chomsky no tiene caminos de largo mayor que i, entoncesla palabra (string) es de longitud no mayor que 2 i−1 . La base, i = 1, es trivial ya que el árbol debe tener laforma de la Figura 6.1.Para la inducción, sea i > 1. Sea el árbol de derivación de la forma de la Figura 6.2Si no hay caminos de largo mayor que i − 1 en los árboles T 1 y T 2 , entonces ellos generan strings de a losumo 2 i−2 símbolos y, por lo tanto, el árbol completo genera strings de no más de 2 i−1 símbolos.Sean k las variables de G y sea N = 2 k . Si Z ∈ L(G) y |Z| ≥ N, como |Z| > 2 k−1 , cualquier árbol dederivación para Z debe tener un camino de largo k + 1 al menos. Pero un camino de ese largo tiene al menos105