TeorÂ´Ä±a de AutÃ³matas y Lenguajes Formales

More documents

Recommendations

Info

$Cavitation and fracture in nonlinear elasticity$

5.5. ÁRBOLES DE DERIVACIÓN 83 ✷Ejemplo 70 Considere la gramática G = (V, T, P, S), con V = {S, A, B}, T = {a, b} y P dado por lassiguientes produccionesS → aB A → bAAS → bA B → bA → a B → bSA → aS B → aBBEl lenguaje L(G) es el conjunto de todos los strings en T ∗ que tienen el mismo número (≥ 1) de a’s yb’s. Se probará, por inducción en la longitud del string que• S ∗ ⇒w si y sólo si w tiene tantas a’s como b’s• A ∗ ⇒w si y sólo si w tiene una a más que b’s• B ∗ ⇒w si y sólo si w tiene una b más que a’sLa hipótesis es obviamente cierta si |w| = 1, ya que A ⇒ a y B ⇒ b y ningún string de largo 1 determinales es derivable de S. También, ya que todas las producciones, excepto A → a y B → b incrementanel largo de un string, ningún string de longitud 1, excepto a y b, son derivables de A y B, ni ninguno esderivable de S.Suponga ahora que la hipótesis inductiva es verdadera para todo w de largo k − 1 ó menos. Se mostraráque se cumple para |w| = k. Si S ∗ ⇒w entonces la derivación debe comenzar con S → a o S → bA. En elprimer caso, w = aw 1 con |w 1 | = k − 1 y B ⇒ w 1 . Por la hipótesis inductiva, el número de b’s en w 1 es 1más que el número de a’s; por lo tanto, w tiene igual número de b’s que de a’s. Un argumento similar esválido si la derivación comienza con S → bA. Para la prueba en la otra dirección, esto es, si |w| = k y wtiene tantas a’s como b’s, entonces S ⇒ w, considere que el primer símbolo de w es una a o una b. Supongaque w = aw 1 ; pero |w 1 | = k − 1 y tiene una b más que a’s. Por la hipótesis inductiva entonces B ⇒ w 1 .Luego S ⇒ aB ∗ ⇒aw 1 = w. Un argumento similar es válido si el primer símbolo de w es una b.Debe ahora probarse las aserciones para A y B, pero se hacen en forma similar a la de S.Otra gramática posible para este mismo lenguaje esS → abS → baS → aSbS → bSaS → SS5.5 Árboles de DerivaciónEs muy útil representar las derivaciones como árboles. Estos árboles, llamados árboles de derivación (ode parse) imponen una estructura en los strings de un lenguaje que es muy útil en aplicaciones como lacompilación de lenguajes de programación.Los vértices o nodos de un árbol de derivación tienen etiquetas que son terminales, variables o el stringnulo ε. Si un nodo interior n tiene etiqueta A y los hijos de n tienen etiquetas X 1 , X 2 , . . . , X k (de izquierdaa derecha), entonces A → X 1 X 2 . . . X k debe ser una producción.La Figura 5.2 muestra el árbol para la derivación de (id + id) ∗ id mostrada anteriormente.Nótese que si se leen las hojas de izquierda a derecha, se obtiene el string (id + id) ∗ id.Más formalmente, sea G = (V, T, P, S) una gramática libre de contexto. Un árbol es un árbol de derivaciónsi• Cada vértice tiene una etiqueta que es un símbolo en V ∪ T ∪ ε✷
84 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO✏✏✏ ✏✏✏ ∗ ✏✏✏ ✏✏✏( )id ✏✏✏ ✏✏✏ + ididFigure 5.2: Árbol de derivación de (id + id) ∗ id• La etiqueta de la raíz es S• Si a es un nodo interior y tiene etiqueta A, debe cumplirse que A ∈ V• Si n tiene etiqueta A y sus hijos de izquierda a derecha son n 1 , n 2 , . . . , n k con etiquetas X 1 , X 2 , . . . ,X k respectivamente, entoncesA → X 1 X 2 . . . X kdebe ser una producción en P• Si un vértice n tiene etiqueta ε, entonces n es una hoja y es el único hijo de su padreEjemplo 71 Considere la gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S) en que P está compuesto porS → aAS|aA → SbA|SS|bay el árbol de la Figura 5.3.Los vértices interiores son 1, 3, 4, 5 y 7. El vértice 1 tiene etiqueta S y sus hijos, de izquierda a derecha,tienen etiquetas a, A y S. Nótese que S → aAS es una producción en P . Igualmente, el nodo 3 tiene etiquetaA y las etiquetas de sus hijos son S, b y A (de izquierda a derecha). A → SbA también es una producción.Los vértices 4 y 5 tienen etiqueta S, sus únicos hijos tienen etiqueta a y S → a es una producción. Porúltimo, el vértice 7 tiene etiqueta A y sus hijos, de izquierda a derecha, tienen etiquetas b y a. A → batambién es una producción. Por lo tanto, este árbol es un árbol de derivación para G.Es posible extender el orden de los hijos de un nodo a un ordenamiento de izquierda a derecha de todaslas hojas. De hecho, dos vértices cualesquiera, ninguno de los cuales es un ancestro del otro, uno está a laizquierda del otro. Dados dos vértices v 1 y v 2 , se siguen los caminos de cada uno de ellos hacia la raíz, hastaque se encuentran en un vértice w. Sean X 1 y X 2 los hijos de w en los caminos desde v 1 y v 2 , respectivamente.Si v 1 no es ancestro de v 2 , o viceversa, X 1 ≠ X 2 . Si X 1 está a la izquierda de X 2 como hijos de w, entoncesv 1 está a la izquierda de v 1 . Por ejemplo, en el árbol anterior, si v 1 = 9 y v 2 = 11, entonces w = 3, X 1 = 5,X 2 = 7; y como 5 está a la izquierda de 7, se deduce que 9 está a la izquierda de 11.✷
Page 1 and 2:
Teoría de Autómatas y Lenguajes F
Page 3:
2 CONTENTS3 ACEPTACIÓN Y GENERACI
Page 6:
Chapter 0PROLOGOComo lo sugiere el
Page 9 and 10:
8 CHAPTER 0. PROLOGO0.6 Otros Probl
Page 11 and 12:
10 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASE
Page 13 and 14:
12 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICAS
Page 15:
14 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICASd
Page 18 and 19:
1.3. GRAFOS Y ARBOLES 171.3 Grafos
Page 20 and 21:
1.4. RELACIONES BINARIAS 19que su d
Page 22 and 23:
1.4. RELACIONES BINARIAS 21Ejemplo
Page 24 and 25:
1.4. RELACIONES BINARIAS 23✓ ✏
Page 26 and 27:
Chapter 2LENGUAJES FORMALESLa teor
Page 28 and 29:
2.2. PALABRAS 27• Si x es una pal
Page 30 and 31:
2.3. LENGUAJES 29Sea y una palabra
Page 32 and 33:
2.3. LENGUAJES 31producto de la aso
Page 34: 2.4.AUTÓMATAS 33contable de repres
Page 37 and 38: 36 CHAPTER 3.ACEPTACIÓN Y GENERACI
Page 52 and 53: 3.5.MINIMIZACIÓN DE AUTÓMATAS FIN
Page 54 and 55: 3.5.MINIMIZACIÓN DE AUTÓMATAS FIN
Page 56 and 57: 3.6. TRADUCTORES DE ESTADO FINITO 5
Page 58 and 59: 3.7. EXPRESIONES REGULARES 57✬✩
Page 60 and 61: 3.7. EXPRESIONES REGULARES 59✓✏
Page 62 and 63: 3.7. EXPRESIONES REGULARES 61Ejempl
Page 64 and 65: 3.7. EXPRESIONES REGULARES 63Ya que
Page 66 and 67: 3.8. APLICACIONES DE LOS LENGUAJES
Page 68 and 69: Chapter 4PROPIEDADES DE LOSLENGUAJE
Page 70 and 71: 4.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 69Ejem
Page 72 and 73: 4.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 71Ejem
Page 74 and 75: 4.3. ALGORITMOS DE DECISIÓN 73pued
Page 76 and 77: Chapter 5ACEPTACIÓN Y GENERACIÓND
Page 78 and 79: 5.2. DEFINICIONES 77El segundo tipo
Page 80 and 81: 5.2. DEFINICIONES 79En la tercera y
Page 82 and 83: 5.4.CONFIGURACIÓN DE LAS GRAMÁTIC
Page 86 and 87: 5.5. ÁRBOLES DE DERIVACIÓN 85S
Page 88 and 89: 5.5. ÁRBOLES DE DERIVACIÓN 87desc
Page 90 and 91: 5.6.SIMPLIFICACIÓN DE GRAMÁTICAS
Page 92 and 93: 5.7. FORMAS NORMALES 91producción
Page 94 and 95: 5.7. FORMAS NORMALES 93S → C b A|
Page 96 and 97: 5.7. FORMAS NORMALES 95(1) for k :=
Page 98 and 99: 5.8. EQUIVALENCIA ENTRE LLC Y AUTÓ
Page 100 and 101: 5.8. EQUIVALENCIA ENTRE LLC Y AUTÓ
Page 102 and 103: 5.9.AMBIGÜEDAD INHERENTE 101se agr
Page 104 and 105: 5.9. AMBIGÜEDAD INHERENTE 103 ✷T
Page 106 and 107: Chapter 6PROPIEDADES DE LOSLENGUAJE
Page 108 and 109: 6.1. LEMA DE BOMBEO PARA LENGUAJES
Page 110 and 111: 6.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 1096.2
Page 112 and 113: 6.2. PROPIEDADES DE CLAUSURA 111Inp
Page 114 and 115: 6.3. ALGORITMOS DE DECISIÓN 113Inp
Page 116 and 117: 6.3. ALGORITMOS DE DECISIÓN 115Eje
Page 118 and 119: Chapter 7ACEPTACIÓN Y GENERACIÓND
Page 120 and 121: 7.2. MODELO DE LA MÁQUINA DE TURIN
Page 122 and 123: 7.3. TÉCNICAS PARA LA CONSTRUCCIÓ
Page 124 and 125: 7.4. LENGUAJES Y FUNCIONES COMPUTAB
Page 126 and 127: 7.5. EXTENSIONES AL MODELO 125A A A
Page 128 and 129: 7.5. EXTENSIONES AL MODELO 127Nóte
Page 130 and 131: 7.6. HIPÓTESIS DE CHURCH 129especi
Page 132 and 133: 7.7. MÁQUINAS DE TURING COMO GENER
Page 134 and 135:
Chapter 8PROPIEDADES DE LOSLENGUAJE
Page 136 and 137:
8.2. MÁQUINA DE TURING UNIVERSAL 1
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Chapter 9INDECIDIBILIDAD9.1 Problem
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
show all

TeorÂ´Ä±a de AutÃ³matas y Lenguajes Formales

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?