Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

1.3. GRAFOS Y ARBOLES 171.3 Grafos y ArbolesUn grafo (finito), denotado como G = (V, R), es una estructura que consta de un conjunto finito de vérticesV , también llamados nodos; y de un conjunto de pares no ordenados de vértices, R, llamados las ramas delgrafo. La forma usual de representar grafos es a través de un diagrama en que los nodos se grafican comopuntos y las ramas, como líneas entre los vértices que forman el par respectivo.Ejemplo 11 En la Figura 1.1 se muestra la representación gráfica usual para el grafo G = (V, R), cuyascomponentes están definidas por:V = {1, 2, 3, 4, 5}R = {(i, j)/i + j = 4 o |i − j| = 3}Hay cinco nodos y cuatro ramas en dicho grafo; éstas últimas son: (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 5).✬✩✬✩✎ ☞✓✏✂✓✏✁✓✏ ✓✏ ✓✏1 2 3 4 5✒✑ ✒✑ ✒✑ ✒✑ ✒✑✷✫✪Figure 1.1: Representación gráfica del grafo GUn camino en un grafo, es una secuencia de vértices v 1 , v 2 , . . . , v n , con n ≥ 1, en que hay una rama(v i , v i+1 ) por cada i tal que 1 ≤ i ≤ n; los nodos v 1 y v n son llamados el vértice inicial y final, respectivamente,y se dice que el camino es de v 1 a v n . Un camino es entonces una secuencia de vértices, tal que es posiblepasar de uno de ellos al siguiente en la secuencia, a través de una rama del grafo. La longitud del caminoes n − 1, es decir, el número de ramas que lo forman. Por ejemplo, 3–1–4 es un camino en el grafo de laFigura 1.1 y tiene longitud 2; también lo es el nodo 4, o cualqier otro vértice por sí solo, estos últimos tienenlongitud 0, por supuesto.Un camino de longitud al menos 1, en que los vértices inicial y final corresponden al mismo nodo, esllamado un circuito y equivale a un lazo cerrado en el diagrama para el grafo. Así, por ejemplo, 2–2, es uncircuito de longitud 1 en el grafo de la Figura 1.1.1.3.1 Grafos DirigidosUn grafo dirigido (finito), denotado por G = (V, A), consta de un conjunto finito de vértices, V ; y de unconjunto de pares ordenados de vértices A, llamados arcos. Un arco (u, v) se denota por u → v y se diceque es un arco de u a v; el nodo u es un predecesor del nodo v y v es un sucesor de u en el grafo. Losdiagramas que representan grafos dirigidos son similares a los usados para grafos, pero los arcos, que sonramas dirigidas, se dibujan como líneas con un sentido definido —normalmente como flechas— dirigidasdesde el nodo predecesor al nodo sucesor en el arco.Ejemplo 12 La Figura 1.2 muestra el diagrama correspondiente al grafo G = (V, A), cuyas componentesquedan definidas por:V = {1, 2, 3, 4}A = {i → j/i < j}En este grafo, el vértice 3 es un sucesor de los vértices 1 y 2, y un predecesor del vértice 4.