Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.7. FORMAS NORMALES 91producción A → α en P tal que al eliminar algunos símbolos anulables desde α, se obtiene w. Por lo tantohay una derivación A⇒ ∗ G α⇒ ∗ G w en que α⇒w ∗ envuelve el derivar ε de los símbolos anulables en α necesariosde eliminar para obtener w. Para la inducción, sea i > 1. Entonces AG ⇒ ′′X i−11X 2 . . . X n ⇒ G ′′w. Debe haberalguna producción A → β en P , tal que X 1 X 2 . . . X n se logre al eliminar algunos símbolos anulables de β.Por lo tanto, A⇒ ∗ ∗G X 1 X 2 . . . X n . Sea w = w 1 w 2 . . . w n , tal que para todo j, X j⇒ G ′′w j en menos de i pasos.∗Por la hipótesis de inducción, X j⇒ G w j si X j es una variable. Si X j es un terminal, entonces w j = X j y∗X j⇒ G w j se cumple trivialmente. Por lo tanto A⇒ ∗ G w.El último paso es aplicar el teorema anterior a G ′′ para obtener G ′ sin símbolos inútiles. Ya que lasconstrucciones de los lemas no introducen producciones nuevas, G ′ no tiene símbolos inútiles ni produccionesvacías. Además, S⇒ ∗ G ′w si y sólo si w ≠ ε y S⇒ ∗ G w. Esto es, L(G ′ ) = L(G) = L(G) − {ε}.De aquí en adelante se asumirá que las gramáticas no tienen símbolos inútiles. Ahora se prestará atencióna las producciones de la forma A → B cuyo lado derecho consiste sólo de una variable. Estas produccionesson llamadas producciones unitarias (unit productions). Todas las otras producciones, incluyendo aquellasde la forma A → a, o producciones vacías, son llamadas producciones no unitarias (non unit).Teorema 20 Todo lenguaje libre de contexto no vacío y sin ε es definido por una gramática sin símbolosinútiles, producciones vacías y producciones unitarias.Demostración : Sea L un lenguaje libre de contexto sin ε y L = L(G) para alguna gramática G = (V, T, P, S).Por el teorema anterior se puede asumir que G no tiene producciones vacías. Se construye un nuevo conjuntode producciones P ′ , incluyendo primero todas las producciones no unitarias de P . Luego, si A⇒ ∗ G B, conA, B ∈ V , se agrega a P ′ todas las producciones de la forma A → α, en que B → α es una producción nounitaria en P .Observe que es fácil saber si A⇒ ∗ G B, ya que G no tiene producciones vacías y siA ⇒ GB 1⇒G B 2⇒G . . . ⇒ GB M⇒G By alguna variable aparece dos veces en la secuencia, se puede encontrar una secuencia más corta de produccionesunitarias que resulten en A ∗ ⇒ G B. Por lo tanto es suficiente considerar sólo aquellas secuencias deproducciones unitarias que no repiten variables de G.Suponga ahora que w ∈ L(G) y considere una derivación por la izquierda para w en G.S ⇒ α 0⇒G α 1⇒G . . . ⇒ Gα N = wSi, para 0 ≤ i < N, α i⇒G α i+1 por una producción no unitaria, entonces α i⇒G ′α i+1 . O bien si α i⇒G α i+1 poruna producción unitaria, pero α i−1⇒G ′α i por una no unitaria, o i = 0, y además α i+1⇒G α i+2⇒G . . . ⇒ Gα j , todaspor producciones unitarias con α j⇒G α j+1 por una no unitaria; entonces α i+1 α i+2 . . . α j todos tienen el mismolargo y ya que la derivación es por la izquierda, el símbolo reemplazado en cada una de ellas está en la mismaposición. Pero entonces α i⇒G ′α j+1 por una de las producciones en P ′ − P . Por lo tanto, L(G ′ ) = L(G).Para terminar la demostración, basta notar que G ′ no tiene producciones unitarias ni vacías. Si se usan loslemas anteriores para eliminar los símbolos inútiles no se agregan producciones, por lo tanto se obtiene unagramática como la pedida.5.7 Formas NormalesEn esta sección se verán dos formas normales para gramáticas libres de contexto. Se verá que para todagramática libre de contexto existe una gramática equivalente con restricciones en la forma de sus producciones.✷✷