Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

7.5. EXTENSIONES AL MODELO 127Nótese que al simular la MT con cinta infinita en ambas direcciones por una MT con cinta infinita sólohacia la derecha, la simulación fue movida por movida. En la que se acaba de presentar, cada movida de M 1requiere de varias de M 2 para ser simulada. De hecho, para simular N movidas de M 1 , se requieren O(N 2 )movidas de M 2 .7.5.3 Movidas No DeterminísticasUna máquina de Turing no determinística es un dispositivo con un control finito y una cinta infinita sólohacia la derecha. Dado un estado y símbolo bajo la cabeza, la máquina tiene un número finito de movidasposibles. Cada opción consiste de un nuevo estado, un símbolo para escribir y una dirección de movimientode la cabeza. La máquina acepta un input si hay una secuencia de movidas que la lleve a un estado final.Como en el caso de los autómatas finitos, el agregar no determinismo a la máquina de Turing no permiteaceptar nuevos lenguajes. De hecho, la combinación de no determinismo con las otras extensiones de estasección, no le añaden poder adicional.Teorema 36 Si L es aceptado por una MT no determinística M 1 , entonces L es aceptado por una MTdeterminística M 2 .Demostración : Para cada estado y símbolo de la cinta de M 1 hay un número finito de opciones para lapróxima movida. Sea r el número máximo de opciones para todos los pares estado-símbolo.Luego, cualquier secuencia finita de elecciones puede representarse por una secuencia de los dígitos 1 ar. Es posible que no todas dichas secuencias representen elecciones de movidas, ya que puede haber menosde r opciones en algunas situaciones.M 2 tendrá tres cintas. La primera contendrá el input; en la segunda M 2 generará secuencias de dígitosde 1 a r en forma sistemática. Específicamente, las secuencias serán generadas con las más cortas primero.Secuencias del mismo largo son generadas en orden numérico.Por cada secuencia generada en la segunda cinta, M 2 copia el input a la tercera cinta y simula a M 1sobre la cinta 3; usando la secuencia definida en la cinta 2 para dictar las movidas de M 1 . Si M 1 entra aun estado de aceptación, M 2 también acepta. Si existe una secuencia de opciones que lleve a M 1 a aceptar,ella será eventualmente generada en la cinta 2. Cuando sea simulada, M 2 aceptará. Si no hay secuencia deelecciones que haga que M 1 acepte, M 2 no aceptará.7.5.4 Máquinas MultidimensionalesConsidérese otra modificación a las máquinas de Turing que tampoco les da poder adicional. Este dispositivotiene un control finito, pero la cinta consiste de un arreglo k-dimensional de celdas infinitas en las 2kdirecciones, para algún k fijo. Dependiendo del estado y símbolo, la máquina cambia de estado, escribe unsímbolo y mueve la cabeza en alguna de las 2k direcciones. Inicialmente, el input está a lo largo de un eje yla cabeza en su primer símbolo a la izquierda.En cualquier instante, sólo un número finito de filas en cualquier dimensión contiene símbolos no-blancos yde ellas cada una tiene sólo un número finito de estos símbolos. Se probará que una máquina uni-dimensionalpuede simular una MT de 2 dimensiones. La generalización se deja como ejercicio.Teorema 37 Si L es aceptado por una máquina de Turing de dos dimensiones, M 2 , entonces L es aceptadopor una MT de una dimensión, M 1 .Demostración : M 1 representa la cinta de M 2 de la siguiente manera (ver Figura 7.5)M 1 : ∗ ∗ BBBA 1 BBB ∗ BBa 2 a 3 a 4 a 5 B ∗ a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 B ∗ . . . ∗ ∗✷✷