Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

130ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE L. ENUMERABLES RECURSIVAMENTE Y RECURSIVOSse sigue con la próxima instrucción de la RAM. Si #j ∗ v j # es encontrado, v j es sumado al registro 2, queestá en su propia cinta, y se continúa con la próxima instrucción.Obsérvese que aún cuando la simulación de la RAM hizo uso de una MT con varias cintas, por teorema35, una MT con una cinta sería mucho más compleja.7.7 Máquinas de Turing como GeneradoresSe ha visto a las máquinas de Turing como reconocedoras de lenguajes y como computadoras de funcionesen los enteros no negativos. Hay una tercera visión útil de las MT, como dispositivos generadores. Considereuna MT, M, que usa una cinta como cinta de output, en la cual un símbolo, una vez escrito, no puede sercambiado y cuya cabeza (escritora en este caso) nunca se mueve a la izquierda. Suponga también que en lacinta de output M escribe strings sobre algún alfabeto Σ, separados por un símbolo especial #. Se puededefinir G(M), el lenguaje generado por M, como el conjunto de w ∈ Σ ∗ , tal que w es eventualmente escritoentre un par de #’s en la cinta de output de M.Nótese que a menos que M no pare, G(M) es finito. Tampoco se requiere que las palabras sean generadasen algún orden en particular, o que cualquier palabra sea generada una sola vez. Si L es G(M) para algunaMT, M, entonces L es un conjunto enumerable recursivamente y viceversa. Los conjuntos recursivos tambiéntienen una caracterización en términos de generadores; ellos son exactamente los lenguajes cuyas palabraspueden ser generadas en orden creciente de tamaño.Lema 11 Si L es G(M 1 ) para alguna MT, M 1 , entonces L es un conjunto enumerable recursivamente.Demostración : Se construye una MT, M 2 , con una cinta más que M 1 . M 2 simula a M 1 usando todo exceptola cinta de entrada de M 2 . Cada vez que M 1 imprime un # en su cinta de output, M 2 compara su input conel string recién generado. Si son el mismo, M 2 acepta; si no, sigue simulando a M 1 . Obviamente M 2 aceptaun string X, si y sólo si X ∈ G(M 1 ). Por lo tanto, L(M 2 ) = G(M 1 ) = L es enumerable recursivamente.El converso de este lema es algo más difícil. Suponga que M 1 reconoce a L ⊆ Σ ∗ . Nuestro primer (ypoco exitoso) intento para diseñar un generador para L puede ser generar palabras en Σ ∗ , en algún orden,w 1 , w 2 , . . ., hacer correr a M 1 en w 1 y si M 1 acepta, generar w 1 en la cinta de output. Luego hacer correr aM 1 en w 2 , generándolo si M 1 acepta, etc. Este método funciona si M 1 está garantizado de parar en todoslos inputs. Sin embargo, como se verá en el próximo capítulo, hay lenguajes enumerables recursivamenteque no son recursivos. En esos casos, aparece la posibilidad que M 1 nunca se detenga en algún w i . LuegoM 2 nunca considerará w i+1 , w i+2 , . . . y no puede generarlas aún cuando M 1 las aceptase.Debe, por lo tanto, evitarse la simulación indefinida de M 1 en alguna palabra. Para ello se fija un orden enque enumerar strings en Σ ∗ . Luego se desarrolla un método para generar todos los pares de enteros positivos(i, j). La simulación procede generando un par (i, j) y simulando a M 1 en la i-ésima palabra durante j pasos.Se fija un orden canónico para Σ ∗ como sigue. Se listan los strings en orden de tamaño, con palabrasdel mismo largo en “orden numérico”. Esto es, sea Σ = {a 0 , a 1 , . . . , a k−1 }, e imagine que a i es el dígito i enbase k. Es decir, las palabras de largo N son los números 0 a k N − 1, escritos en base k. El diseño de unamáquina de Turing que genere palabras en orden canónico no es difícil y se deja como ejercicio.Ejemplo 88 Si Σ = {0, 1}, el orden canónico es ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .Nótese que el orden aparentemente más simple en que usualmente se generan las representaciones áscortas de los números en base k, 0, 1, 2, . . . , no sirve pues nunca se generan strings como a 0 a 0 a 1 , que tienenceros adelante.✷✷✷