Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

2.4.AUTÓMATAS 33contable de representaciones y un número incontable de cosas por representar, no debe extrañar que no seaposible representar en forma finita a todos los lenguajes. En realidad, a lo más que se puede aspirar es aencontrar una representación finita, de algún tipo, para al menos algunos de los lenguajes más interesantes.Éste es el primer resultado importante de la teoría de computación que se ha obtenido en estos apuntes:No importando cuán poderosos puedan ser los métodos para describir lenguajes, sólo un número contablede lenguajes puede ser representado usando especificaciones finitas. Como hay un número incontable delenguajes, un número también incontable de ellos quedará irremediablemente fuera de cualquier esquema derepresentación finita. No es posible hablar de todos los lenguajes que existen, simplemente no hay suficientesnombres para referirse a cada uno de ellos.En el resto de estos apuntes se estudiarán diversas formas para describir y representar lenguajes, cadauna más poderosa que la anterior, en el sentido de que es capaz de describir lenguajes indescriptibles porla forma previa. Esta jerarquía de esquemas no contradice el hecho que todas ellas son inevitablementelimitadas en los lenguajes que pueden representar. Al final de los apuntes, se verán formas de exhibirlenguajes particulares que no pueden ser representados por ninguno de los métodos que se estudiarán. Sesabe que el mundo de los lenguajes está plagado por un vasto número de estos lenguajes, sin embargo puedeser muy difícil encontrar uno en particular y demostrarlo como tal. La técnica de diagonalización será muyútil para estos efectos.2.4 AutómatasUn autómata finito es un modelo matemático de un sistema con entrada y salida discretas. El sistemapuede estar en cualquiera de un conjunto finito de configuraciones internas o estados. El estado de unsistema resume la información de las entradas pasadas, pero sólo en lo que es necesario para determinar elcomportamiento del sistema en las entradas por venir.Ejemplos de sistemas de estado finito son el mecanismo de control de un ascensor, la unidad de controlde un computador, ciertos editores de texto y los analizadores léxicos de los compiladores.Los analizadores léxicos procesan los símbolos que componen un programa de computador para ubicarlos que corresponden a identificadores, números, palabras reservadas, etc. En este proceso sólo es necesariorecordar una cantidad finita de información, como por ejemplo qué tan largo ha sido el prefijo de una palabrareservada que ya se ha visto.El computador mismo puede ser visto como una máquina de estado finito. Teóricamente, el estado dela CPU, memoria y almacenamiento secundario es, en cada instante, uno de un conjunto muy grande, perofinito, de estados posibles; provisto, por supuesto, que hay un número fijo de discos, cintas, etc., y que lamemoria no puede agrandarse indefinidamente. Sin embargo, este modelo no resulta muy útil pues imponeun límite artificial en la capacidad de memoria y, por lo tanto, impide notar la esencia de lo que es unacomputación.Antes de estudiar más formalmente los sistemas de estado finito, se presentará un ejemplo de ellos.Ejemplo 31 Un hombre, un lobo, una cabra y un repollo están en la orilla izquierda de un rio. Existe unbote con capacidad para transportar al hombre y sólo una de las otras tres cosas. El hombre quiere cruzara la otra orilla con todos y es capaz de acarrear a cualquiera de ellos en el bote. Sin embargo, si el hombredeja al lobo y a la cabra juntos en una orilla, el lobo comerá a la cabra. Algo similar sucede si la cabra y elrepollo quedan en una orilla sin la presencia del hombre. El problema es saber si es posible y cómo puede elhombre pasar a todos a la otra orilla.El problema se modela observando que la información que interesa son los ocupantes en cada orilla,después de cada cruce del hombre en bote. Hay 16 subconjuntos del hombre (H), lobo (L), cabra (C) yrepollo (R). Un estado corresponde al subconjunto que está en la orilla izquierda (en la derecha está elcomplemento).Los nombres de los estados corresponden entonces a pares como LR–HC, en que los símbolos a laizquierda del guión forman el subconjunto que está en la orilla izquierda del rio. Algunos de los estados,como CR–HL, son fatales y el sistema nunca debe llegar a ellos.