Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.2. DEFINICIONES 77El segundo tipo de movida, llamado movida vacía (movida- ε), es similar a la anterior, con la excepciónde que no se usa el símbolo de entrada y la cabeza lectora no se avanza. Este segundo tipo de movidaspermite al AA manipular el stack sin consumir símbolos de entrada.Finalmente se debe definir el lenguaje que acepta un AA. Hay dos formas naturales de hacerlo. Laprimera, que ya se ha sugerido, es definir el lenguaje aceptado como el conjunto de todos los inputs parael cual alguna secuencia de movidas hace que el autómata vacíe su stack. Este es el lenguaje aceptado porstack vacío.La segunda forma de definir el lenguaje aceptado es similar a la forma en que un AF acepta strings. Estoes, se designa a algunos estados como estados finales y se define el lenguaje aceptado como el conjunto detodos los strings de entrada para los cuales alguna secuencia de movidas hace que el AA entre a un estadofinal.Como se verá, las dos definiciones de aceptación son equivalentes en el sentido que si un conjunto esaceptado por stack vacío por algún AA, entonces es aceptado por estado final por algún otro AA, y viceversa.Aceptación por estado final es la noción más común, pero es más fácil probar el teorema básico para losautómatas apiladores usando aceptación por stack vacío. Ese teorema dice que un lenguaje es aceptado porun AA si y sólo si es un lenguaje libre de contexto.Formalmente, un autómata apilador M es una séxtupla (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , F ) en queQ es un conjunto finito de estadosΣ es el alfabeto de entradaΓ es el alfabeto del stackq 0 es el estado inicial (q 0 ∈ Q)Z 0es un símbolo especial del stack (Z 0 ∈ Γ), llamado símbolo inicialF ⊆ Q es el conjunto de estados finalesδ es una función de Q × (Σ ∪ ε) × Γ a 2 Q×Γ∗ (subconjuntos finitos de Q × Γ ∗ )Por convención se usarán letras minúsculas del comienzo del alfabeto para los símbolos de entrada y delfinal del alfabeto para strings de símbolos de entrada. Letras mayúsculas serán símbolos del stack y letrasgriegas indican strings de símbolos del stack.La interpretación deδ(q, a, Z) = {(p 1 , γ 1 ), (p 2 , γ 2 ), . . . , (p M , γ M )}en que q y p i , (1 ≤ i ≤ M) son estados en Q, a ∈ Σ, Z ∈ Γ y γ i ∈ Γ ∗ , (1 ≤ i ≤ M), es que el autómataapilador en estado q, viendo el símbolo de entrada a y teniendo a Z en el tope del stack puede, para cualquieri, entrar a estado p i , reemplazar el símbolo Z por el string γ i en el stack y avanzar un lugar la cabeza delectura. Se adopta la convención que el símbolo más a la izquierda en γ i será el que queda al tope del stack.Nótese que no es posible elegir un estado p i y un string γ j , para j ≠ i, en una sola movida.La interpretación deδ(q, ε, Z) = {(p 1 , γ 1 ), (p 2 , γ 2 ), . . . , (p M , γ M )}es que el autómata en estado q, independientemente del símbolo de entrada y teniendo Z al tope del stack,puede entrar al estado p i y reemplazar Z por γ i , para cualquier i, 1 ≤ i ≤ M. En este caso, la cabeza lectorano es movida.Ejemplo 66 Descripción formal del autómata apilador que acepta {wcw r /w ∈ {0, 1} ∗ } por stack vacío.M = ({q 1 , q 2 }, {0, 1, c}, {A, V, R}, δ, q 1 , R, ∅)