Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.5. ÁRBOLES DE DERIVACIÓN 87descendientes están a la izquierda del vértice j y de todos sus descendientes. Por lo tanto, α = α 1 α 2 . . . α n .Un subárbol debe tener menos vértices interiores que el árbol original, a menos que sean el mismo árbol.Por la hipótesis de inducción, para cada vértice i que no es una hoja X i∗⇒αi . Si X i = α i , entonces X i∗⇒αi ,trivialmente. Poniendo todas estas derivaciones parciales juntas,A ⇒ X 1 X 2 . . . X n∗⇒α1 X 2 . . . X n∗⇒α1 α 2 . . . X n∗⇒ . . .∗⇒α1 α 2 . . . α n = αPor lo tanto A ∗ ⇒ G α. Nótese que la anterior es sólo una de las posiblemente muchas derivaciones que sepueden obtener.Suponga ahora que A ∗ ⇒α. Se debe mostrar que existe un árbol-A con rédito α. Si A ⇒ α, entoncesA → α está en P y hay un árbol con rédito α que tiene la forma de la Figura 5.7.✟✟✟✟ XA✂✂✂❍ ❍❍❍❍1 X2 ... XN( con α = X1X 2... X N)Figure 5.7: Árbol-A con rédito αSupóngase ahora que para cualquier variable A, si A ∗ ⇒α en menos de k pasos, hay un árbol-A con réditoα. Suponga que A ∗ ⇒α por una derivación de k pasos. Sea A ⇒ X 1 X 2 . . . X n el primero de estos pasos;cualquier símbolo de α debe ser uno de X 1 , X 2 , . . . , X n o ser derivado de uno de ellos. También, la parte deα derivada de X i debe estar a la izquierda de los símbolos derivados de X j , si i < j. Por lo tanto es posibleescribir α como α 1 α 2 . . . α n , en que para cada i entre 1 y n,• α i = X i si X i es un terminal, y• X i∗⇒αi si X i es una variableSi X i es una variable, la derivación de α i desde ella debe tomar menos de k pasos. Por lo tanto, por lahipótesis de inducción, por cada X i que es una variable, hay un árbol-X i con rédito α i , que se denominaráT i . Se construye un árbol-A con n hojas, con etiquetas X 1 , X 2 , . . . , X n . Cada vértice con etiqueta X i ∉ Tse reemplaza por el árbol T i . Si X i es un terminal no se reemplaza el nodo.A❛✁ ❧ ❛❛❛❛❛❛❛❛❛✁ ❧❧❧❧❧✁✘✘ ✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘ ✦✦ ✦✦✦✦✦✦✦✁❛X 1 X2X 3XN-1X N✂❇✂❇✂❇✂✂❇✂( terminal ) ❇❇✂✂( terminal )❇❇✂❇✂❇✂❇✂✂T 2❇ ✂T3❇✂TN❇❇Figure 5.8: Construcción del árbol-AEl rédito del árbol así construido es α, como se quería.✷