Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

7.2. MODELO DE LA MÁQUINA DE TURING 1191. Cambia de estado.2. Escribe un símbolo en la celda de la cinta que está bajo la cabeza, reemplazando lo que allí había.3. Mueve la cabeza a la izquierda o la derecha, exactamente una celda.en queFormalmente, una máquina de Turing (MT) se denota por la séxtuplaM = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , B, F )Q es un conjunto finito de estados.Γ es el conjunto finito de símbolos de la cinta posibles.B ∈ Γ es el símbolo blanco.Σ ⊂ Γ, que no incluye B, es el conjunto de símbolos de entrada.q 0 ∈ Q es el estado inicial.F ⊆ Q es el conjunto de estados finales (o de aceptación).δ es la función que determina las movidas.δ : Q × Γ −→ Q × Γ × {I, D}y puede estar indefinida para algunos argumentos.Una descripción instantánea (DI) de una máquina de Turing, M, se denota por α 1 qα 2 . En ella, q es elestado en que se encuentra M y α 1 α 2 ∈ Γ ∗ es el contenido de la cinta hasta el símbolo no blanco de mása la derecha o el símbolo a la izquierda de la cabeza, el que esté más a la derecha. Nótese que B puede estaren α 1 alpha 2 . Para evitar confusión se supone que Γ y Q sn disjuntos. Finalmente, se asume que la cabezaestá sobre el símbolo de más a la izquierda de α 2 , o si α 2 = ε, la cabeza está sobre un blanco.Una movida de M se define como sigue. Sea X 1 X 2 . . . X i−1 qX i . . . X n una DI y suponga que δ(q, X i ) =(p, Y, I), donde si i − 1 = u, entonces X i = B. Si i = 1 entonces no hay una próxima DI, ya que la cabezano puede caerse hacia la izquierda de la cinta. Si i > 1, entonces se escribe.X 1 X 2 . . . X i−1 qX i . . . X n⊢M X1 X 2 . . . X i−2 pX i−1 Y X i+1 . . . X nsin embargo, si cualquier sufijo de X i−1 Y X i+1 . . . X n es completamente blanco, ese sufijo es eliminado.Alternativamente, si δ(q, X i ) = (p, Y, D), entoncesX 1 X 2 . . . X i−1 qX i . . . X n⊢M X1 X 2 . . . X i−1 Y pX i+1 . . . X nen el caso i − 1 = n, el string X i . . . X n es vacío y la DI nueva ha alargado el string en la cinta.Si dos DI están relacionadas por ⊢ M, se dice que la segunda resulta de la primera por una movida. Siuna DI resulta de otra después de un número finito de movidas (incluidas cero movidas), ellas están en larelación ∗ ⊢ M, la clausura refleja y transitiva de ⊢ M.El lenguaje aceptado por M, L(M), es el conjunto de strings en Σ ∗ , que hacen que M entre en un estadofinal, cuando se pone a la izquierda de la cinta, con M en q 0 y la cabeza en la celda de más a la izquierda.Formalmente, el lenguaje aceptado por M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , B, F ) es el conjunto:L(M) = {w ∈ Σ ∗ /q 0 w ∗ ⊢ α 1 pα 2 con p ∈ F y α 1 α 2 ∈ Γ ∗ }Dada una máquina de Turing que reconoce L, se puede asumir, sin pérdida de generalidad, que la MT sedetiene, es decir, no tiene una próxima movida al aceptar un string. Sin embargo, para strings que no estánen L, es posible que nunca se detenga.