Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

36 CHAPTER 3.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES REGULARESFormalmente, un autómata finito determinístico es una quíntupla:(Q, Σ, δ, q 0 , F )en que Q es un conjunto finito de estados, Σ es un alfabeto de entrada, q 0 ∈ Q es el estado inicial, F ⊆ Q esel conjunto de estados finales y δ es la función de transición que va de Q × Σ a Q. Esto es, δ(q, a) ∈ Q paratodo q ∈ Q y a ∈ Σ.Como se aprecia en la Figura 3.2, un autómata finito se visualiza como un control finito, que está enalguno de los estados de Q, leyendo una secuencia de símbolos de Σ escritos sobre una cinta.1 0 0 1 1 1 0 0✻..ControlFinito.✓✏✒✑Figure 3.2: Representación de un autómata finitoEn una movida, el AF en estado q y viendo el símbolo a, entra al estado δ(q, a) y mueve su cabeza lectoraun símbolo hacia la derecha sobre la cinta. Si δ(q, a) es un estado de aceptación, el AF habría aceptado elprefijo del string escrito en la cinta, a la izquierda del símbolo sobre el cual recién llegó la cabeza lectora,sin incluirlo. Si la cabeza lectora se ha salido del final de la cinta (por la derecha), entonces acepta elstring completo. Nótese que mientras se mueve sobre el string, el AF puede aceptar (o no) muchos prefijosdiferentes.Para describir formalmente el comportamiento de un AF en un string, es necesario extender la funciónde transición δ, de forma tal que actúe sobre un string y un estado, en lugar de un estado y un símbolo. Esdecir, se quiere una función ˆδ : Q × Σ ∗ → Q. La intención es que ˆδ(q, w) sea el estado en que el AF estaríaleyendo w a partir del estado q. Dicho de otra forma, ˆδ(q, w) es el estado p (único) tal que hay un caminode q a p en el diagrama de transición y en que las etiquetas de sus arcos forman w.Formalmente:• ˆδ(q, ε) = q• Para todo string w ∈ Σ ∗ y símbolo a ∈ Σ, δ(ˆδ(q, w), a)La primera parte de esta definición asegura que el AF no puede cambiar de estado sin leer símbolos. Lasegunda, indica cómo encontrar el estado en que quedará después de leer un string no vacío wa.Dado que ˆδ(q, a) = δ(ˆδ(q, ε), a) = δ(q, a), no hay diferencia entre δ y ˆδ para aquellos argumentos en queambas están definidas. Por lo tanto, por conveniencia, se usará δ en lugar de ˆδ, siempre.En general, se tratará de usar los mismos símbolos para significar las mismas cosas a través de todo elmaterial para autómatas finitos. En particular se usarán los siguientes:• Q es un conjunto de estados. Los símbolos p y q, con o sin subíndice serán estados. El estado inicialserá q 0 .• Σ es un alfabeto de símbolos de entrada. Los símbolos a y b, con o sin subíndice, y los dígitos, seránsímbolos de entrada.• δ es la función de transición de un AF..