Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

142 PROPIEDADES DE L. ENUMERABLES RECURSIVAMENTE Y RECURSIVOSSuponga que L R fuese enumerable recursivamente. Entonces se puede construir una MT para L u , quese sabe no puede existir. Sea M R una MT que acepta L R . Se puede construir un algoritmo A que tome< M, w > como input y produzca como output una MT M ′ , tal que{L(M ′ φ si M no acepta w) =si M acepta wL uNote que L u no es recursivo, así que M ′ acepta un lenguaje recursivo si y sólo si M no acepta w. El planpara M ′ se indica en la Figura 9.3.w ✲MSI✲✲Mu✲SI✲SIXM ′Figure 9.3: Construcción de M ′Como en el ejemplo anterior, se ha descrito el output de A. Se deja su construcción como ejercicio.Dado A y M R se puede construir una MT que acepta L u . (Ver Figura 9.4).< M, w > ✲ AM ′✲M R✲SI✲SIFigure 9.4: Construcción de una MT que acepta L uEn input < M, w > la MT usa A para producir M ′ , y usa M R para determinar si el conjunto aceptadopor M ′ es recursivo. Acepta si y sólo si L(M ′ ) es recursivo, pero L(M ′ ) es recursivo si y sólo si L(M ′ ) = φ,lo que significa que M no acepta w. Por lo tanto acepta < M, w > si y sólo si < M, w >∈ L u .Se estudia ahora L NR . Suponga que se tiene una MT, M NR , que acepta L NR . Se puede usar M NR y unalgoritmo B a ser construido por el lector, que acepta L u . B toma < M, w > como entrada y produce unaMT M ′ (ver Figura 9.5), tal que{ ΣL(M ′ ∗si M acepta w) =si M no acepta wL uPor lo tanto M ′ acepta un lenguaje recursivo si y sólo si M acepta w. Dados B y M NR , la Figura 9.6siguiente es una MT que acepta L u :La MT acepta < M, w > si y sólo si L(M ′ ) no es recursivo, o equivalentemente, si y sólo si M no aceptaw. Esto es, la MT acepta < M, w > si y sólo si < M, w >∈ L u . Como ya se ha mostrado que no existetal MT, se concluye que la suposición de que M NR existe es falsa y, por lo tanto, L NR no es enumerablerecursivamente.✷