Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

46 CHAPTER 3.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES REGULARESEjemplo 45 Para el AFND-ε anterior considere el string 01.ˆδ(q 0 , ε) = clausura − ε(q 0 ) = {q 0 , q 1 , q 2 }ˆδ(q 0 , 0) = clausura − ε(δ(ˆδ(q 0 , ε), 0))= clausura − ε(δ({q 0 , q 1 , q 2 }, 0))= clausura − ε(δ({q 0 }, 0) ∪ δ({q 1 }, 0) ∪ δ({q 2 }, 0))= clausura − ε({q 0 } ∪ ∅ ∪ ∅)= clausura − ε({q 0 })= clausura − ε(q 0 )= {q 0 , q 1 , q 2 }luego,ˆδ(q 0 , 01) = clausura − ε(δ(ˆδ(q 0 , 0), 1))= clausura − ε(δ({q 0 , q 1 , q 2 }, 1))= clausura − ε(q 1 )= {q 1 , q 2 }es decir, el AFND-ε acepta el string 01 ya queˆδ(q 0 , 01) ∩ F = {q 1 , q 2 } ∩ {q 2 } = {q 2 } ≠ ∅Como todo AFND es un AFND-ε, es claro que la clase de lenguajes aceptados por los AFND-ε incluyea los lenguajes aceptados por los AFND, los lenguajes regulares. Pero hay más, sucede que éstos son losúnicos lenguajes aceptados por los AFND-ε. La prueba se basa en mostrar que los AFND pueden simularlos AFND-ε; esto es: por cada AFND-ε , es posible construir un AFND equivalente.Teorema 2 Sea L un lenguaje aceptado por un autómata finito no determinístico con transiciones en vacío.Existe un autómata finito no determinístico que acepta L.Demostración : Sea M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) el AFND-ε que acepta L. Se define un autómata finito no determinísticoM ′ = (Q, Σ, δ ′ , q 0 , F ′ ) en que:{ F ∪F ′ {q0 } ssi clausura − ε(q=0 ) contiene un estado de F (ε ∈ L)F en otro casoy δ ′ (q, a) es ˆδ para todo q ∈ Q y a ∈ Σ.Nótese que M ′ no tiene transiciones en vacío y se puede entonces usar δ ′ en lugar de ˆδ ′ .Se quiere probar, por inducción en |x|, que δ ′ (q 0 , x) = ˆδ(q 0 , ε) = clausura − ε(q 0 ). Sin embargo, estopuede no ser cierto para x = ε, ya que δ ′ (q 0 , ε) = {q 0 }, mientras que δ(q 0 , ε) = clausura − ε(q 0 ). Por lotanto la inducción empieza con |x| = 1.Base (|x| = 1): Entonces x es un símbolo a ∈ Σ y por la definición de δ ′ ,δ ′ (q 0 , a) = ˆδ(q 0 , a)Inducción: Sea x = wa para un símbolo a ∈ Σ, entonces (con |w| ≥ 1).δ ′ (q 0 , wa) = δ ′ (δ ′ (q 0 , w), a)pero, por la hipótesis de inducciónδ ′ (q 0 , w) = ˆδ(q 0 , w)✷