Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

82 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOpresentará simplemente listando sus producciones. Si A → α 1 , A → α 2 , . . .,A → α N , son producciones parala variable A de alguna gramática, es posible expresarlas usando la notaciónA → α 1 | α 2 | . . . | α Nen que | es leído “o”. La gramática completa del ejemplo anterior puede escribirse comoE → E + E | E ∗ E | (E) | idAhora se definirá formalmente el lenguaje generado por una gramática G = (V, T, P, S). Para ello esnecesario desarrollar una notación que represente las derivaciones.Primero, se definen dos relaciones: ⇒ G y ∗ ⇒ G , entre strings en (V ∪ T ) ∗ . Si A → B es una producción enP y α y γ son strings cualesquiera en (V ∪ T ) ∗ , entoncesαAγ ⇒ GαβγSe dice que la producción A → β se le aplica al string αAγ para obtener αβγ, o que αAγ derivadirectamente αβγ en la gramática G. Dos strings están relacionados por ⇒ G exactamente cuando el segundose obtiene del primero por una aplicación de alguna producción.Suponga que α 1 , α 2 , . . . , α M son strings en (V ∪ T ) ∗ , con M ≥ 1, y queα 1⇒G α 2 , α 2⇒G α 3 , . . . , α M−1⇒G α M∗ ∗Entonces se dice que α 1⇒ G α M o que α 1 deriva α M en la gramática G. Esto es, ⇒ G es la clausurareflexiva y transitiva de ⇒ G. También, α⇒ ∗ G β si β proviene de α por la alicación de cero o más produccionesde P . Nótese que α⇒ ∗ G α, para todo string α. Usualmente, si es claro cuál es la gramática G, se usa ⇒ enlugar de ⇒ G, y ⇒ ∗ en lugar de ⇒ ∗ G . También, si α deriva β en exactamente i pasos, se dice que α⇒β.iEl lenguaje generado por G, denotado por L(G), es el conjunto{w/w ∈ T ∗ y S ∗ ⇒ G w}esto es, un string está en L(G) si y sólo si• el string consiste sólo de terminales• el string es derivable desde SUn lenguaje se llamará lenguaje libre de contexto si es L(G) para alguna gramática libre de contexto G.Un string de terminales y variables, α, es llamado una forma sentencial si S ∗ ⇒ G α. Dos gramáticas se dicenequivalentes si L(G 1 ) = L(G 2 ).Ejemplo 69 Considere la gramática G = (V, T, P, S), con V = {S}, T = {a, b} y P dado porS → aSbS → abS es la única variable; a y b son terminales. Usando la primera producción N − 1 veces, seguidas de unaaplicación de la segunda producción, se obtiene:S ⇒ aSb ⇒ aaSbb ⇒ . . . ⇒ a N−1 Sb N−1 ⇒ a N b NAdemás, sólo strings de la forma a N b N (N ≥ 1) están en L(G). Cada vez que S → aSb es usada, semantiene el número de S’s. Después de usar la producción S → ab, el número de S’s de la forma sentencialdisminuye en uno. Por lo tanto, ya que se empieza con S y ya que ambas producciones son para S, elúnico orden en que ellas pueden ser usadas es empleando S → aSb algún número de veces seguidas por unaaplicación de S → ab. Por lo tanto,L(G) = {a N b N /N ≥ 1}Este lenguaje es el ejemplo de un lenguaje libre de contexto que no es un lenguaje regular.