Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

1.2.INDUCCIÓN MATEMÁTICA 13Inducción (n ≥ 0): La hipótesis de inducción asegura que 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2. Se desea mostrarque la fórmula se cumple también para n + 1; es decir, que 1 + 2 + · · · + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2.Se tiene:1 + 2 + · · · + n + (n + 1) = (1 + 2 + · · · + n) + (n + 1) (asociatividad de la suma)= n(n + 1)/2 + (n + 1) (hipótesis de inducción)= (n + 1)(n/2 + 1) (factorizando)= (n + 1)(n + 2)/2como se deseaba mostrar.Luego, por el principio de inducción matemática, se concluye que la fórmula se cumple para todos los númerosnaturales.Una forma de comprender intuitivamente la validez del principio de inducción matemática, es a travésde una analogía entre los números naturales y una serie infinita (pero contable) de cartas de un juego dedominó, dispuestas de forma tal que una carta al caer pueda botar a la carta siguiente. En esta analogía,cada carta corresponde a uno de los números naturales, y el hecho que una carta caiga, corresponde a quela proposición se cumple para el número natural respectivo. Al demostrar la inducción, se está probandoque si cualquiera de las cartas cae, la siguiente carta también caerá. La base, por el contrario, establece unhecho concreto: la carta número cero cae. Ambas cosas son, obviamente, suficientes para concluir que todaslas cartas caerán, y que, en realidad, cada carta caerá después de un lapso finito de tiempo. Es decir, paraconcluir que la proposición es válida para todos los números naturales.1.2.1 Otras BasesSi se quiere mostrar que una proposición P (n) se cumple para todos los números naturales mayores o igualesa un cierto número natural k, también se puede emplear el principio de inducción matemática. En este casose debe aplicar de forma que la base corresponda a P (k) y, además, en la inducción se puede considerar queel número n es mayor o igual a k. Es decir, basta establecer:• P (k), y que• para todo número natural n ≥ k: P (n) implica P (n + 1).Esta formulación expresa la noción de que cualquier número natural mayor o igual a k, puede ser formadoa partir del número k, en un número finito de pasos; en que en cada paso, se agrega uno al número formadohasta el paso anterior.Ejemplo 6 Se demuestra que 2 n > n 3 , para todo número natural mayor o igual a 10. La demostración espor inducción en n, sobre los números naturales, a partir del número 10.Base (n = 10): En este caso se tiene, 2 n = 2 10 = 1024 y, por otro lado, n 3 = 10 3 = 1000. Es decir, paran = 10, 2 n > n 3 , como se quería probar.Inducción (n ≥ 10): La hipótesis de inducción asegura que 2 n > n 3 cuando n ≥ 10. Se desea mostrar queesta desigualdad también se cumple para n + 1; es decir, que 2 n+1 > (n + 1) 3 . Entonces, se tiene:2 n > n 3 = nn 2 (hipótesis de inducción)> 9n 2 = 3n 2 + 3n 2 + 3n 2 (porque n ≥ 10)> 3n 2 + 3n + 1 (porque n es positivo)Utilizando nuevamente la hipótesis de inducción y sumándola a la última desigualdad obtenida, setiene:2 n + 2 n > n 3 + 3n 2 + 3n + 1✷