Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

12 CHAPTER 1.MATEMÁTICAS BÁSICAS• Suponga que la respuesta es no, que k ∉ S k . Entonces, por la definición de D, k ∈ D. Pero D = S k ,por lo tanto, k ∈ S k . Otra contradicción.Luego, en ambos casos se llega a una contradicción. Como no hay una tercera alternativa, se concluye quela hipótesis de que existe un número natural k, tal que D = S k , es errónea; es decir, que D, que es unsubconjunto de los números naturales, no corresponde a ninguno de los S i . En otras palabras, hay mássubconjuntos de números naturales que números naturales mismos y, por lo tanto, el conjunto potencia delos números naturales es incontable, como se quería mostrar.El método usado en el Ejemplo 4, es conocido con el nombre de diagonalización. Es una técnica muyutilizada que se basa en el uso de los números en un doble papel; como ocurre con el número n en ladefinición del conjunto D de ese ejemplo, en que se usa para representar a uno de los subconjuntos de Ny, simultáneamente, a los números que no pertenecen a ese subconjunto específico. El nombre del métodoproviene de representar el proceso como una tabla en que, para este ejemplo, las filas representan a lossubconjuntos de N y las columnas, a los números naturales, de tal modo que en el casillero (i, j) haya un 1si el número j pertenece al i- ésimo subconjunto, y un cero si no es así; al hacer ésto, el conjunto D quedadefinido por los valores en la diagonal de la tabla y en general se le conoce como el conjunto diagonal enestas demostraciones.1.2 Inducción MatemáticaEn estos apuntes, muchas proposiciones se demuestran usando el llamado Principio de Inducción Matemática.Este principio indica que para probar que una cierta proposición P (n) es válida para todo número natural n,es suficiente probar que se cumple para cero y, además, probar que si se cumple para algún número natural,se cumple también para el número siguiente. Es decir, basta establecer:• P (0), y que• para todo número natural n: P (n) implica P (n + 1).La primera parte, P (0), es llamada la base y normalmente es la más simple de probar. La segunda parte esllamada el paso inductivo o la inducción; su antecedente, P (n), es conocido como la hipótesis de induccióno hipótesis inductiva, y es un hecho que puede emplearse, sin necesidad de prueba, al hacer la demostraciónde P (n + 1), la conclusión deseada en la inducción.El principio de inducción es equivalente a otro principio matemático, conocido como el principio delmenor entero, y expresa, fundamentalmente, la noción de que un número natural es el número cero, o es elsucesor de otro número natural. Es decir, expresa la idea intuitiva de que cualquier número natural puedeser formado a partir del número cero en un número finito de pasos, en un proceso que, en cada uno de suspasos, agrega uno al número formado hasta el paso anterior.Se le ha llamado inducción a este proceso porque primero debe decidirse, por algún otro método, cuál esla proposición que va a ser probada, y sólo entonces puede utilizarse para, en realidad, demostrar la validezde la suposición. Este principio no permite deducir cuál es la proposición a ser probada; ella debe obtenersepor otros métodos con anterioridad. En realidad, el concepto es muy diferente del llamado razonamientoinductivo, empleado por los científicos para crear una hipótesis, a partir de un número de observaciones dela realidad.Ejemplo 5 Se prueba que la fórmula 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2, se cumple para todo número natural n.La demostración es por inducción en n, sobre los números naturales.Base (n = 0): La suma del lado izquierdo es cero, pues no hay nada que sumar. La expresión del ladoderecho queda 0(0 + 1)/2, que también es cero, tal como se quería.✷