Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.9. AMBIGÜEDAD INHERENTE 103 ✷Teorema 27 El lenguaje libre de contextoL = {a N b N c M d M /N ≥ 1 y M ≥ 1} ∪ {a N b M c M d N /N ≥ 1 y M ≥ 1}es inherentemente ambiguo.Demostración : Asuma que hay una gramática no ambigua que genera L. Por el lema anterior, se puedeconstruir una gramática no ambigua G = (V, T, P, S), que genera L, que no tiene símbolos inútiles y en quepor cada A ∈ V − {S}, A⇒X ∗ 1 AX 2 para algunos X 1 , X 2 ∈ T ∗ , en que no son ambos ε.Se hace notar que la gramática G debe tener las siguientes propiedades:1. Si A ∗ ⇒X 1 AX 2 , entonces X 1 y X 2 consisten de un sólo tipo de símbolos (a, b, c o d); si noS ∗ ⇒w 1 Aw 3∗⇒w1 X 1 X 1 AX 2 X 2 w 3∗⇒w1 X 1 X 1 w 2 X 2 X 2 w 3para algunos w 1 , w 2 y w 3 . El último string de terminales no pertenecería a L.2. Si A ∗ ⇒X 1 AX 2 , entonces X 1 y X 2 tienen símbolos diferentes, si no en una derivación que usa A, seaumentaría el número de uno de los símbolos en una sentencia sin incrementar el número de ningúnotro símbolo, generando sentencias que no están en L.3. Si A ∗ ⇒X 1 AX 2 , entonces |X 1 | y |X 2 |. Si no se podría formar strings que tienen más de un símbolo quede ningún otro.4. Si A ∗ ⇒X 1 AX 2 y A ∗ ⇒X 3 AX 4 , entonces X 1 y X 3 consisten de los mismos símbolos. También X 2 y X 4 .Si no, la propiedad (1) sería violada.5. Si A ∗ ⇒X 1 AX 2 , entonces a.- X 1 consiste sólo de a’s y X 2 sólo de b’s o de d’s b.- X 1 consiste sólo de b’sy X 2 sólo de c’s c.- X 1 consiste sólo de c’s y X 2 sólo de d’sEn cualquiera de los otros casos es fácil derivar un string que no pertenece a L. Por lo tanto, lasvariables que no sean S pueden agruparse en 4 clases, C ab , C ad , C bc y C cd . C ab es el conjunto de todaslas A ∈ V , tales que A ∗ ⇒X 1 AX 2 , con X 1 ∈ a ∗ y X 2 ∈ b ∗ . C ad , C bc y C cd se definen en forma análoga.6. Una derivación que contiene un símbolo en C ab o C cd no puede contener un símbolo en C ad o C bc yviceversa. Si no, sería posible incrementar el número de tres de los tipos de símbolos de una sentenciaen L, sin importar el cuarto. En ese caso habría un string en L para el cual un símbolo apareceríamenos veces que todos los otros.Nótese que si una derivación contiene una variable en C ab o C cd , entonces el string terminal generadodebe estar en {a N b N c M d M /N ≥ 1 y M ≥ 1}. Porque supóngase que una variable A ∈ C ab aparece enuna derivación de un string X que no está en ese conjunto. Entonces X debe ser de la forma a N b M c M d N ,con M ≠ N. Ya que A ∈ C ab , es posible generar una sentencia a N+p b M+p c M d N , con M ≠ N para algúnp > 0, la que no pertenece a L. Un argumento similar se cumple si A ∈ C cd . Un razonamiento análogoimplica que si una derivación contiene una variable en C ad o C bc , entonces la sentencia generada debe estaren {a N b M c M d N /N ≥ 1 y M ≥ 1}.Se divide G en dos gramáticas,yG 1 = ({S} ∪ C ab ∪ C cd , T , P 1 , S)G 2 = ({S} ∪ C ad ∪ C bc , T , P 2 , S)