Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

3.5.MINIMIZACIÓN DE AUTÓMATAS FINITOS. 51✬✩C1Cc✡C❍ b✡❍ C❍ ✡ dC ✚a ✚ ❅❅❅❅❅✚ C✚e✚✚ Cf✫C2✪C3Figure 3.14: Relación entre clases de equivalencia R M y R L✛ ✘✛ ✘✛ ✘00 0, 1★✥ ✬✩✡✲ ✠✡✲ ✠★✥ ★✥✡✲ ✠1 1✲ [ε] ✲ [1]✲ [11]✧✦ ✫✪✧✦ ✧✦Figure 3.15: AFD con mínimo número de estados, para el lenguaje 0 ∗ 10 ∗el estado δ ′ (q ′ 0 , x) de M ′ . Esta identificación será consistente, pues, por la prueba del teorema anterior, siδ(q 0 , x) = δ(q 0 , y) = q, x e y están en la misma clase de equivalencia de R L y, por lo tanto, δ ′ (q ′ 0 , x) = δ′ (q ′ 0 , y).Hay un método simple para encontrar el AFD, M ′ , con el mínimo número de estados y equivalente a unAFD M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) dado. Sea ≡ la relación de equivalencia en los estados de M tal que p ≡ q si ysólo si para todo string x ∈ Σ ∗ , δ(p, x) ∈ F si y sólo si δ(q, x) ∈ F . Obviamente, hay un isomorfismo entrelas clases de equivalencia de ≡ que contienen un estado alcanzable desde q 0 para algún string y los estadosde M ′ . Si p ≡ q se dice que p es equivalente a q; se dice que p es distinguible de q si existe un string x talque δ(p, x) ∈ F y δ(q, x) ∉ F o viceversa.Ejemplo 51 Sea M el AFD siguiente:A continuación se muestra una tabla con una entrada por cada par de estados distintos. Se pone una ×en la tabla cuando se descubre que un par de estados son distinguibles.Inicialmente se pone una × en todas las entradas de la tabla que corresponden a un estado final y a unono final. En este caso se pone una × en (a, c), (b, c), (c, d), (c, e), (c, f), (c, g) y (c, h).A continuación, para cada par de estados p y q, que aún no se sabe si son distinguibles, se consideran lospares de estados r = δ(p, a) y s = δ(q, a), para cada símbolo a. Si r y s son distinguibles por algún stringx, entonces p y q son distinguibles por ax. Por lo tanto, si en la entrada (r, s) hay una ×, se pone una ×en (p, q). Si la entrada (r, s) no tiene una × aún, el par (p, q) se pone en una lista asociada a (r, s). En elfuturo, si (r, s) recibe una ×, cada par en su lista asociada también la recibe.✷