Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

3.3.AUTÓMATAS FINITOS CON TRANSICIONES EN VACÍO 45Ejemplo 43 La función de transición para el AFND-ε anterior está dada porQ \ Σ∪{ε} 0 1 2 εq 0 {q 0 } ∅ ∅ {q 1 }q 1 ∅ {q 1 } ∅ {q 2 }q 2 ∅ ∅ {q 2 } ∅Nuevamente es conveniente extender la función de transición a una nueva funciónˆδ : Q × Σ ∗ → 2 Q✷de tal forma que ˆδ(q, w) contenga todos los estados a los que se puede llegar desde q por caminos con etiquetaw; sin descartar la posible inclusión entre éstos de arcos con etiqueta ε.Para definir ˆδ, es importante calcular el conjunto de todos los estados alcanzables desde algún estado q,sin consumir input, sólo por transiciones en vacío. Esto es equivalente a encontrar el conjunto de vérticesalcanzables desde un vértice dado en un grafo dirigido; el vértice es el estado q y el grafo dirigido es eldiagrama de transición con todos y sólo los arcos que tienen etiqueta ε, hacia ellos desde q se le denotarápor clausura-ε(q), la clausura vacía de q.Ejemplo 44 En el AFND-ε anterior, se tiene:clausura − ε(q 0 ) = {q 0 , q 1 , q 2 }clausura − ε(q 1 ) = {q 1 , q 2 }clausura − ε(q 2 ) = {q 2 }Es natural extender la clausura vacía a un conjunto de estados como sigue:clausura − ε(P ) = ⋃clausura − ε(q) ∀P ⊆ Qq∈P✷Ahora es posible definir la función de transición extendida a strings, ˆδ:• ˆδ(q, ε) = clausura − ε(q)• Para todo w ∈ Σ ∗ , a ∈ Σ y q ∈ Qen que:ˆδ(q, wa) = clausura − ε(P ),P = {p/∃r ∈ ˆδ(q, w) y p ∈ δ(r, a)}Nuevamente es conveniente extender δ y ˆδ a conjuntos de estados, a través de:• δ(P, a) = ⋃ q∈Pδ(q, a) ∀P ⊆ Q y a ∈ Σ ∪ {ε}• ˆδ(P, w) = ⋃ ˆδ(q, q∈Pw) ∀P ⊆ Q y w ∈ Σ ∗Nótese que a diferencia de los casos anteriores, ˆδ(q, a) no es necesariamente igual a δ(q, a), ya que elprimero incluye los estados alcanzables desde q por caminos con etiqueta a (incluyendo posiblemente arcoscon etiqueta ε), mientras que el segundo incluye sólo aquellos estados alcanzables desde q por un arco conetiqueta a. Similarmente, ˆδ(q, ε) es distinto de δ(q, ε). Por lo tanto, si se está hablando de un AFND- ε esnecesario distinguir entre δ y ˆδ.El lenguaje aceptado por un AFND-ε, M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) es el conjuntoL(M) = {x/F ∩ ˆδ(q 0 , x) ≠ ∅}