Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

2.3. LENGUAJES 29Sea y una palabra cualquiera sobre el alfabeto. La demostración se hará por inducción en el largo de lapalabra x.Base (|x| = 0): La única palabra con longitud cero es la palabra vacía. Es decir, en este caso x = ε y, porlo tanto, se cumple que:(x ◦ y) r = (ε ◦ y) r (porque x = ε)= y r (definición de concatenación)= y r ◦ ε (elemento neutro)= y r ◦ ε r (definición del reverso)= y r ◦ x r (porque x = ε)como se deseaba mostrar.Inducción (|x| ≥ 0): La hipótesis de inducción asegura que si la palabra x tiene longitud n ≥ 0, entoncesse cumple que (x ◦ y) r = y r ◦ x r . Se debe demostrar que esta relación también se cumple cuando lalongitud de x es n + 1. Sea x una palabra de longitud n + 1 ≥ 1, entonces x = au para algún símboloa ∈ Σ y alguna palabra u sobre Σ, en que |u| = n. Por lo tanto:(x ◦ y) r = ((au) ◦ y) r (porque x = au)= (a(u ◦ y)) r (definición de concatenación)= (u ◦ y) r ◦ a (definición del reverso)= (y r ◦ u r ) ◦ a (hipótesis de inducción)= y r ◦ (u r ◦ a) (asociatividad)= y r ◦ ((au) r ) (definición del reverso)= y r ◦ x r (porque x = au)como se quería mostrar.Por el principio de inducción matemática, ya que se ha mostrado la base y la inducción, se puede concluirque para todo par de palabras x e y, sobre un alfabeto Σ cualquiera, se cumple la relación (x ◦ y) r = y r ◦ x r .✷2.3 LenguajesEn esta sección se definirá y estudiará el concepto de lenguaje, noción sobre la que girarán estos apuntes. Unlenguaje (formal) sobre un alfabeto, es un conjunto de palabras sobre ese alfabeto. Esta simple definiciónpermite formalizar la idea intuitiva de lenguaje, de forma que abarque los lenguajes naturales, de programacióny de otros tipos. En los lenguajes naturales los símbolos son fonemas, letras u otros símbolos, y laspalabras son las frases y sentencias que se pueden expresar en ese idioma. En los lenguajes de programación,los símbolos son las palabras reservadas, caracteres y símbolos especiales del lenguaje; las palabras son losprogramas escritos en dicho lenguaje.El conjunto vacío, ∅ y el conjunto cuyo único elemento es la palabra vacía, {ε}, tienen la característica deser lenguajes sobre cualquier alfabeto. Es importante hacer notar que ellos son dos lenguajes absolutamentediferentes. El primero no tiene elementos, mientras que el segundo lenguaje tiene un único elemento: lapalabra nula.Ejemplo 25 El conjunto de palíndromes sobre el alfabeto romano es un lenguaje infinito. Los palíndromesson palabras que tienen la característica de ser iguales a su reverso. Algunos de los elementos de este lenguajeson: ABBA, C, PRZHZRP, RADAR, RECONOCER. La palabra nula, ε, también pertenece a este lenguaje.Es conveniente destacar que cualquier palabra formada por símbolos del alfabeto, y que se lee igual dederecha a izquierda que de izquierda a derecha, pertenece a este lenguaje. No sólo aquéllas que tienen algúnsignificado, ya sea en Castellano o en cualquier otro idioma.