Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

2.3. LENGUAJES 31producto de la asociatividad de la concatenación de palabras. Es decir, para todo lenguaje L 1 , L 2 y L 3 sobreun alfabeto Σ cualquiera,L 1 ◦ (L 2 ◦ L 3 ) = (L 1 ◦ L 2 ) ◦ L 3También se cumplen las siguientes propiedades de la concatenación de lenguajes. Para todo lenguaje Lsobre un alfabeto Σ cualquiera,L ◦ ∅ = ∅ ◦ L = ∅L ◦ {ε} = {ε} ◦ L = LEn forma similar al caso de las palabras, la notación L i se utiliza para representar la concatenación, iveces, de un lenguaje L consigo mismo. Formalmente esta operación se puede definir para todo númeronatural i, a través de las siguientes reglas inductivas: Para todo lenguaje L:• L 0 = {ε}• Para todo número natural i ≥ 1 : L i = L ◦ L i−1La idea intuitiva es que para todo número natural i, el lenguaje L i está formado por la concatenación deexactamente i palabras del lenguaje L. Estas palabras pueden ser distintas o no, no hay restricciones alrespecto. Es bueno hacer notar que se cumplen las siguientes propiedades de esta operación.• Para todo lenguaje L : L 1 = L• ∅ 0 = {ε}• Para todo número natural n ≥ 1 : ∅ n = ∅Ejemplo 28 Si L es el lenguaje {a, b} sobre el alfabeto romano, se pueden formar los siguientes lenguajesa partir de él:L 0 = {ε}L 1 = {a, b}L 2 = {aa, ab, ba, bb}L 3 = {aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}2.3.2 ClausurasUna vez definida la concatenación de lenguajes, es posible definir una nueva función sobre los lenguajes,llamada clausura de Kleene, o simplemente clausura. La clausura de un lenguaje L se define como ellenguajeL ∗ = ⋃ L i , para todo i ≥ 0.También se define la clausura positiva de un lenguaje L, como el lenguaje:L + = ⋃ L i , para todo i ≥ 1.La clausura de un lenguaje L, L ∗ , denota el lenguaje formado al concatenar cualquier número de palabrasde L, incluyendo la posibilidad de cero. La clausura positiva, L + , es similar, pero en este caso no se aceptanconcatenaciones de cero palabras. El nombre clausura para estas funciones proviene del hecho que la clausura,o la clausura positiva, de un lenguaje L, es un lenguaje que incluye a L y es cerrado bajo concatenación;es decir, que al concatenar dos palabras cualesquiera de ellos, la palabra resultante también está en eselenguaje.✷