Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

Chapter 7ACEPTACIÓN Y GENERACIÓNDE LENGUAJES ENUMERABLESRECURSIVAMENTE YLENGUAJES RECURSIVOSEn este capítulo se estudiarán las máquinas de Turing, un modelo matemático simple de lo que es uncomputador. A pesar de su simpleza, esta máquina modela la capacidad de computación de un computadorde propósito general. Las máquinas de Turing son estudiadas tanto por la clase de lenguajes que definen(llamados enumerables recursivamente), como también por la clase de funciones enteras que pueden computar(llamadas funciones recursivas parciales). Un número de otros modelos de computación se presentan y semuestra que ellos son equivalentes a la máquina de Turing en su poder de computación.7.1 AlgoritmosLa noción intuitiva de algoritmo o procedimiento efectivo ha aparecido varias veces. Por ejemplo, se vioun procedimiento efectivo para determinar si el conjunto aceptado por un AF es vacío, finito o infinito.Inocentemente, se podría pensar que para cualquier clase de lenguajes con descripciones finitas, habría unprocedimiento efectivo que respondiera tales preguntas. Sin embargo, no es así. Por ejemplo, no hay unalgoritmo que indique si el complemento de un lenguaje libre de contexto es vacío; aún cuando sí se puedesaber si el lenguaje en sí es vacío. Esta discusión no se refiere a un procedimiento que responda la preguntapara un lenguaje específico, sino que a un único procedimiento que responda correctamente la pregunta,cualquiera fuera el lenguaje.Es obvio que si se tratara de responder si un lenguaje libre de contexto específico tiene un complementovacío, entonces existe el algoritmo. Basta tener uno que responda siempre SI y otro que siempre respondaNO ; uno de ellos es el algoritmo deseado en este caso. Por supuesto que puede no ser obvio cuál es elalgoritmo que responde correctamente.A comienzos de siglo, el matemático David Hilbert se embarca en la búsqueda de un algoritmo paradeterminar la veracidad o falsedad de cualquier proposición matemática. En particular, él buscaba unprocedimento para determinar si una fórmula arbitraria del cálculo de predicados de primer orden, aplicadaa enteros, es verdadera. Como el cálculo de predicados de primer orden es suficientemente poderoso paraexpresar la sentencia de que el lenguaje generado por una gramática libre de contexto es igual a Σ ∗ , si Hilberthubiese tenido éxito, el problema de decidir si el complemento de un lenguaje libre de contexto es vacío, sehabría resuelto. Sin embargo, en 1931, Kurt Gödel publicó su famoso teorema de incompletitud, que probó117