Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

78 CHAPTER 5.ACEPTACIÓN Y GENERACIÓN DE LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTOcon la función δ definida como sigue:δ(q 1 , 0, R) = {(q 1 , AR)} δ(q 1 , 1, R) = {(q 1 , V R)}δ(q 1 , 0, A) = {(q 1 , AA)} δ(q 1 , 1, A) = {(q 1 , V A)}δ(q 1 , 0, V ) = {(q 1 , AV )} δ(q 1 , 1, V ) = {(q 1 , V V )}δ(q 1 , c, R) = {(q 2 , R)}δ(q 1 , c, A) = {(q 2 , A)}δ(q 1 , c, V ) = {(q 2 , V )}δ(q 2 , 0, A) = {(q 2 , ε)} δ(q 2 , 1, V ) = {(q 2 , ε)}δ(q 2 , ε, R) = {(q 2 , ε)}Nótese que para cada movida en que el autómata escribe un símbolo en el tope del stack, δ tiene un valor(q, γ) en que |γ| = 2. Por ejemplo δ(q 1 , 0, R) = {(q 1 , AR)}. Si γ fuera de longitud 1, el AA simplementereemplazaría el símbolo al tope del stack por un nuevo símbolo, sin incrementar el tamaño del stack. Estohace que si γ es ε, el resultado es un pop del stack.Nótese también que la regla δ(q 2 , ε, R) = {(q 2 , ε)} significa que el AA en estado q 2 con R al tope delstack puede borrar esa R independientemente del símbolo de entrada. En este caso, la cabeza lectora no seavanza, y en realidad no es necesario que hubiese input adicional.Para describir formalmente la configuración en que se encuentra un AA en un instante dado, se defineuna descripción instantánea (DI). La DI debe, por supuesto, registrar el estado y el contenido del stack; sinembargo es útil que además incluya el input aún no procesado. Por lo tanto una DI se define como una triple(q, w, γ) en que q es un estado, w un string de símbolos de entrada y γ un string de símbolos el stack.Si M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , F ) es un AA, se dice que (q, aw, Zα) ⊢ M (p, w, βα) si δ(q, a, Z) contiene (p, β).Nótese que a puede ser tanto ε como algún símbolo de entrada, en esta definición. Por ejemplo, en el AAdel ejemplo anterior el hecho de que (q 1 , AV ) esté en δ(q 1 , 0, V ) asegura que(q 1 , 011, V V R) ⊢ (q 1 , 11, AV V R)Se usa ⊢ M∗para la clausura reflexiva y transitiva de⊢M . Esto es, I ⊢ M∗I para toda DI I, y si I⊢M∗J yJ ⊢ M∗K entonces I⊢M∗K. Se escribirá I⊢MiK si la descripción instantánea I se puede convertir a K despuésde exactamente i movidas.Para un AA, M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , F ), se define L(M), el lenguaje aceptado por estado final a{w/(q 0 , w, Z 0 ) ⊢ M∗(p, ε, γ) con p ∈ F y γ ∈ Γ ∗ }y se define N(M), el lenguaje aceptado por stack vacío a{w/(q 0 , w, Z 0 ) ⊢ M∗(p, ε, ε) con p ∈ Q}Si la aceptación es por stack vacío, el conjunto de estados finales es irrelevante y normalmente, en esoscasos, se define como el conjunto vacío.Ejemplo 67 El siguiente autómata apilador acepta el lenguaje {ww r /w ∈ {0, 1} ∗ }, por stack vacío.M = ({q 1 , q 2 }, {0, 1}, {R, A, V }, δ, q 1 , R, ∅)δ(q 1 , 0, R) = {(q 1 , AR)}δ(q 1 , 1, R) = {(q 1 , V R)}δ(q 1 , 0, A) = {(q 1 , AA), (q 2 , ε)}δ(q 1 , 0, V ) = {(q 1 , AV )}δ(q 1 , 1, A) = {(q 1 , V A)}δ(q 1 , 1, V ) = {(q 1 , V V ), (q 2 , ε)}δ(q 2 , 0, A) = {(q 2 , ε)}δ(q 2 , 1, V ) = {(q 2 , ε)}δ(q 1 , ε, R) = {(q 2 , ε)}δ(q 2 , ε, R) = {(q 2 , ε)}✷