Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

5.5. ÁRBOLES DE DERIVACIÓN 83 ✷Ejemplo 70 Considere la gramática G = (V, T, P, S), con V = {S, A, B}, T = {a, b} y P dado por lassiguientes produccionesS → aB A → bAAS → bA B → bA → a B → bSA → aS B → aBBEl lenguaje L(G) es el conjunto de todos los strings en T ∗ que tienen el mismo número (≥ 1) de a’s yb’s. Se probará, por inducción en la longitud del string que• S ∗ ⇒w si y sólo si w tiene tantas a’s como b’s• A ∗ ⇒w si y sólo si w tiene una a más que b’s• B ∗ ⇒w si y sólo si w tiene una b más que a’sLa hipótesis es obviamente cierta si |w| = 1, ya que A ⇒ a y B ⇒ b y ningún string de largo 1 determinales es derivable de S. También, ya que todas las producciones, excepto A → a y B → b incrementanel largo de un string, ningún string de longitud 1, excepto a y b, son derivables de A y B, ni ninguno esderivable de S.Suponga ahora que la hipótesis inductiva es verdadera para todo w de largo k − 1 ó menos. Se mostraráque se cumple para |w| = k. Si S ∗ ⇒w entonces la derivación debe comenzar con S → a o S → bA. En elprimer caso, w = aw 1 con |w 1 | = k − 1 y B ⇒ w 1 . Por la hipótesis inductiva, el número de b’s en w 1 es 1más que el número de a’s; por lo tanto, w tiene igual número de b’s que de a’s. Un argumento similar esválido si la derivación comienza con S → bA. Para la prueba en la otra dirección, esto es, si |w| = k y wtiene tantas a’s como b’s, entonces S ⇒ w, considere que el primer símbolo de w es una a o una b. Supongaque w = aw 1 ; pero |w 1 | = k − 1 y tiene una b más que a’s. Por la hipótesis inductiva entonces B ⇒ w 1 .Luego S ⇒ aB ∗ ⇒aw 1 = w. Un argumento similar es válido si el primer símbolo de w es una b.Debe ahora probarse las aserciones para A y B, pero se hacen en forma similar a la de S.Otra gramática posible para este mismo lenguaje esS → abS → baS → aSbS → bSaS → SS5.5 Árboles de DerivaciónEs muy útil representar las derivaciones como árboles. Estos árboles, llamados árboles de derivación (ode parse) imponen una estructura en los strings de un lenguaje que es muy útil en aplicaciones como lacompilación de lenguajes de programación.Los vértices o nodos de un árbol de derivación tienen etiquetas que son terminales, variables o el stringnulo ε. Si un nodo interior n tiene etiqueta A y los hijos de n tienen etiquetas X 1 , X 2 , . . . , X k (de izquierdaa derecha), entonces A → X 1 X 2 . . . X k debe ser una producción.La Figura 5.2 muestra el árbol para la derivación de (id + id) ∗ id mostrada anteriormente.Nótese que si se leen las hojas de izquierda a derecha, se obtiene el string (id + id) ∗ id.Más formalmente, sea G = (V, T, P, S) una gramática libre de contexto. Un árbol es un árbol de derivaciónsi• Cada vértice tiene una etiqueta que es un símbolo en V ∪ T ∪ ε✷