Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

6.1. LEMA DE BOMBEO PARA LENGUAJES LIBRES DE CONTEXTO 107S❩ ❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩Av 12BCA v✓ ✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓✓Z 3 Z 2 Z 4Z1Figure 6.3: Derivación de un substringEjemplo 78 Considere el lenguaje L 1 = {a i b i c i /i ≥ 1}. Asuma que L es libre de contexto y sea N laconstante del lema de bombeo. Considere el string Z = a N b N c N . Por el lema, se puede escribir Z = uvwxy,con |vx| ≥ 1 y |vwx| ≤ N. Como |vwx| ≤ N, no es posible que vx contenga a’s y c’s ya que hay N + 1posiciones entre la última a y la primera c. Si v y x sólo contienen a’s, entonces uwy (uv i wx i y, con i = 0)tiene N b’s y N c’s, pero menos de N a’s, ya que |vx| ≥ 1. Por lo tanto no es de la forma a j b j c j , es decir, nopertenece a L 1 , contradiciendo el lema de bombeo. Los casos en que v y x sólo tienen b’s o c’s son similares.Si vx tiene a’s y b’s, entonces uwy tiene más c’s que a’s o b’s y, por lo tanto, no está en L 1 , contradiciendoel lema de bombeo. Si vx contiene b’s y c’s, sucede algo similar.En todos los casos posibles, se contradice el lema de bombeo, por lo tanto se concluye que L 1 no es unlenguaje libre de contexto.Ejemplo 79 Sea L 2 = {a i b j c i d j /i ≥ 1 y j ≥ 1}. Suponga que L 2 es un lenguaje libre de contexto y seaN la constante del lema de bombeo. Considere el string Z = a N b N c N d N . Por el lema, se puede escribirZ = uvwxy, con |vx| ≥ 1 y |vwx| ≤ N. Como |vwx| ≤ N, vx puede tener a lo más dos símbolos diferentes,los que deben ser consecutivos (ab, bc, cd).Si vx sólo tiene a’s, entonces uwy tiene menos a’s que c’s y no está en L 2 , contradiciendo el lema debombeo. El mismo resultado se obtiene si vx contiene sólo b’s, sólo c’s o sólo d’s.Si vx tiene a’s y b’s, entonces uwy tiene menos a’s que c’s. Una contradicción similar con el lema debombeo ocurre si vx tiene b’s y c’s o c’s y d’s.Ya que en todos los casos posibles se contradice el lema de bombeo, se concluye que L 2 no es un lenguajelibre de contexto.Hay algunos lenguajes que no son libres de contexto, para los cuales el lema de bombeo no es suficiente.Por ejemploL 3 = {a i b j c k d l /i = 0 ó j = k = l}✷✷