Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

8.2. MÁQUINA DE TURING UNIVERSAL 135w✲✲M 1✲SI✲SI✲M 2✲SI✲NOFigure 8.4: Construcción de M, que simula simultáneamente a dos MT, M 1 y M 2El primero y último de estos teoremas tienen una consecuencia muy importante. Sean L y L un par delenguajes complementarios. Entonces una sola de las siguientes aserciones se cumple:1. L y L son recursivos2. Ni L ni L son enumerables recursivamente3. Uno entre L y L es enumerable recursivamente, pero no recursivo; el otro no es enumerable recursivamente.Una técnica importante para mostrar que un problema no es decidible es mostrar, por diagonalización,que el complemento del lenguaje para ese problema no es enumerable recursivamente. Por lo tanto, los casos(2) ó (3) anteriores no son aplicables. Esta técnica será esencial para probar el primer problema no-decidible.Después, varias formas de reducciones pueden emplearse para mostrar que otros problemas no son decidibles.8.2 Máquina de Turing UniversalAhora se usará la técnica de diagonalización para mostrar que un cierto problema no es decidible. El problemaes: “¿Acepta una MT, M, un string de entrada, w?” En este caso, tanto M como w son parámetros delproblema.Al formalizar el problema como un lenguaje, se restringirá w a ser sobre el alfabeto {0, 1} y a que Mtenga alfabeto de la cinta {0, 1, B}. Como el problema restringido es no-decidible, con toda seguridad elproblema más general también lo es. Se escoge esta versión restringida para simplificar la codificación deinstancias como strings.Para comenzar, se codifican las máquinas de Turing con alfabetos restringidos como strings sobre elalfabeto {0, 1}. SeaM = (Q, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 1 , B, {q 2 })una máquina de Turing restringida como se desea. Además supóngase que Q = {q 1 , q 2 , . . . , q N } es el conjuntode estados, y que q 2 es el único estado final. Un teorema anterior asegura que si L ⊆ {0, 1} ∗ es aceptadopor una MT, entonces es aceptado por una con alfabeto {0, 1, B}. También, no hay necesidad de más de unestado final, ya que una vez que acepta puede parar.Es conveniente llamar los símbolos 0, 1 y B como X 1 , X 2 y X 3 ; también las direcciones I y D seránllamadas D 1 y D 2 , respectivamente. Entonces una movida cualquiera δ(q i , X j ) = (q k , X l , D m ) se codificapor el string binario0 i 10 j 10 k 10 l 10 m✷