Teor´ıa de Autómatas y Lenguajes Formales

3.2.AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINÍSTICOS 43Es decir, δ ′ aplicado a un estado [q 1 , q 2 , . . . , q i ] de Q ′ , se calcula aplicando δ a cada estado de Q representadopor el estado [p 1 , p 2 , . . . , p j ] en Q ′ , el que es el valor de esta aplicación de la función.Es fácil mostrar, por inducción en la longitud del string x, quesi y sólo siδ ′ (q 0 ′ , x) = [q 1 , q 2 , . . . , q i ]δ(q 0 , x) = {q 1 , q 2 , . . . , q i }Base (|x| = 0): Entonces x = ε y se tieneδ ′ (q 0 ′ , x) = δ ′ (q 0 ′ , ε) = q 0 ′ = [q 0 ]Inducción: Asuma que la hipótesis se cumple para strings de largo n y considere xa, un string de largon + 1, con |x| = n, x ∈ Σ ∗ y a ∈ Σ. Entonces:δ ′ (q 0 ′ , xa) = δ ′ (δ ′ (q 0 ′ , x), a)pero por la hipótesissi y sólo siδ ′ (q 0 ′ , x) = [p 1 , p 2 , . . . , p j ]δ(q 0 , x) = {p 1 , p 2 , . . . , p j }pero por la definición de δ ′ ,si y sólo siδ ′ ([p 1 , p 2 , . . . , p j ] , a) = [r 1 , r 2 , . . . , r k ]δ([p 1 , p 2 , . . . , p j ] , a) = {r 1 , r 2 , . . . , r k }.Por lo tanto,si y sólo siδ ′ (q 0 ′ , xa) = [r 1 , r 2 , . . . , r k ]δ(q 0 , xa) = {r 1 , r 2 , . . . , r k }como se quería demostrar. Sólo falta agregar que δ ′ (q 0 ′ , x) ∈ F ′ exactamente cuando δ(q 0 , x) contieneun estado de Q que está en F . Por lo tantoL(M) = L(M ′ )Ejemplo 41 Considere el AFND que reconoce los strings que tienen tres b’s consecutivas, visto en el ejemploanterior. Se construirá un AFD, a partir de él, usando el método implícito en el teorema 1. (Ver Figura 3.9)Es conveniente comenzar con [q 0 ] y agregar estados sólo a medida que aparecen como transiciones desdeotros ya incluidos, porque la mayoría de los estados (en general) no son accesibles desde [q 0 ] y, por lo tanto,son inútiles.Nótese que el AFD anterior acepta el mismo lenguaje que el AFND del cual se partió y también que otroAFD visto anteriormente para el mismo lenguaje. Todos ellos son equivalentes.✷✷